1 复变函数复习(s)
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1、考试安排,主要内容,复数的几种表示及运算；区域，曲线；初等复变函数。,Cauchy - Riemann 方程：(1) 判断可导与解析，求导数；,Fourier 变换的概念, 函数，卷积。,Cauchy 积分公式，Cauchy 积分定理，高阶导数公式。,Laurent 展式。,留数：(1) 计算闭路积分；,保形映射：(1) 求象区域；,利用 Laplace 变换求解常微分方程(组) 。,(2) 构造解析函数。,(2) 计算定积分。,(2) 构造保形映射。,一、构造解析函数,一、构造解析函数,( 仅考虑已知实部 u 的情形 ),(2) 将 (A) 式的两边对变量 y 进行(偏)积分得：,其中， 已知，而 待定。,(3) 将 (C ) 式代入 (B ) 式，求解即可得到函数,(C ),二、将函数展开为洛朗级数,两个重要的已知展开式,2. 间接展开法,1. 直接展开法 (略),二、将函数展开为洛朗级数,则复平面,被分为四个解析环：,则,特别，若,若 为 的本性奇点，则在 的邻域内展开为洛朗级数。,三、利用留数计算闭路积分,1. 计算留数,三、利用留数计算闭路积分,2. 计算闭路积分,其中，,三
2、、利用留数计算闭路积分,2. 计算闭路积分,四、计算定积分,(2),1.,则,其中， 是 在 内的孤立奇点。,四、计算定积分,2.,则,其中， 是 在上半平面内的孤立奇点。,四、计算定积分,3.,则,其中， 是 在上半平面内的孤立奇点。,3.,四、计算定积分,要求,(1) P (x) , Q(x) 为多项式，,(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高一次 ,(3) 分母 Q(x) 无实零点。,特别,(1) 预处理,工具：几种简单的分式映射、幂函数等。,五、构造保形映射,目标：使边界至多由两段圆弧(或直线段)构成。,(2) 将区域映射为角形域或者带形域,工具：,(3) 将角形域或者带形域映射为上半平面,步骤,(4) 将上半平面映射为单位圆,(一般),(对于带形域),五、构造保形映射,六、求解常微分方程(组),步骤,微分方程(组),(1) 将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)；,(2) 求解代数方程得到象函数；,(3) 求 Laplace 逆变换得到微分方程(组)的解。,几个常用函数的 Laplace 变换,六、求解常微分方程(组),已知复数的实部与虚部，求模与(主)辐角。,七、其它,求复数的方根,求导公式,对数函数,幂函数,七、其它,七、其它,幂级数的收敛半径,求保形映射下的象区域,(1) 分式映射、幂函数以及指数函数的映射特点。,(2) 保形映射的分解与复合。,单位冲激函数,(2) 对称性质,(1) 筛选性质,(3) 重要公式,卷积与卷积定理,七、其它,
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