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赵树源线性代数_线性代数第2讲

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1、线性代数第2讲下载网址： http:/ http:/应用数学.cn11.3 行列式的性质2将行列式D的行与列互换后得到的行列式, 称为D的转置行列式, 记为D或DT. 即如果性质1 将行列式转置, 行列式的值不变, 即DT=D3证: 记D的一般项为它的元素在D中位于不同的行不同的列, 在DT中就位于不同的列不同的行, 相应的 DT中的一般项也是如此, 符号也是一样.因此, D与DT是具有相同项的行列式, 所以 D=DT4由此性质知, 行列式的行具有的性质, 它的列也具有相同的性质.5性质2 交换行列式的两行(列), 行列式的值变号. 证: 设6交换D的第i行和第s行, 得到行列式7记D的一般项中n个元素的乘积为它的元素在D中位于不同的行不同的列, 因而在D1中也位于不同的行不同的列, 所以也是D1的一般项的n个元素乘积. 由于D1 是交换D的第i行与第s行, 而各元素所在的列并没有改变, 所以它在D中的符号为在D1中的符号则为8由于排列1isn与排列1sin的奇偶性相反, 所以因而D1中的每一项都是D的相应项的相反数, 所以D1=-D.9推论如果行列式中有两行(列)的对应

2、元素相同, 则此行列式的值为零.因为将行列式D中具有相同元素的两行互换其结果仍是D, 但由性质2可知其结果应为-D, 因此D=-D, 所以D=0.10性质3 用数k乘行列式的某一行(列), 等于以数k乘此行列式, 即如果D=|aij|, 则11证: 因为行列式D1的一般项为上面等号右端方括号内是D的一般项, 所以 D1=kD.由性质1可知, 对列的情形也成立.同样, 行列式的其它性质都只对行的情形加以证明就够了.12推论1 如果行列式某行(列)的所有元素有公因子, 则公因子可以提到行列式外面. 推论2 如果行列式有两行(列)的对应元素成比例, 则行列式的值等于零.因为由推论1可将行列式中这两行(列)的比例系数提到行列式外面, 则余下的行列式有两行 (列)对应元素相同, 由性质2可知此行列式的值等于零, 所以原行列式的值等于零.13性质4 如果将行列式中的某一行(列)的每一个元素都写成两个数的和, 则此行列式可以写成两个行列式的和, 这两个行列式分别以这两个数为所在行(列)对应位置的元素, 其它位置的元素与原行列式相同.14即如果则D=D1+D2 15证: 因为

3、D的一般项是上面等号右端第一项是D1的一般项, 第二项是D2的一般项, 所以D=D1+D2.16推论如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成m个数(m为大于2的整数)的和, 则此行列式可以写成m个行列式的和.17性质5 将行列式某一行(列)的所有元素同乘以数k后加于另一行(列)对应位置的元素上, 行列式的值不变.18证: 设19以数k乘D的第s行各元素后加于第i行的对应元素上, 得20因此可得211.4 行列式按行(列)展开22(一)行列式按某一行(列)展开定义1.3 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素aij 所在的第i行和第j列后, 余下的n-1阶行列式, 称为D中元素aij的余子式, 记为Mij23即(1.5 )aij的余子式Mij前添加符号(-1)i+j, 称为aij的代数余子式, 记为Aij. 即 Aij=(-1)i+jMij(1.6) 24例如, 四阶行列式中, a32的代数余子式是25a13的代数余子式26定理1.4 n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和, 即 D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (

4、i=1,2,n) 或 D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj (j=1,2,n)27证: (1) 首先讨论D的第一行中的元素除a110 外, 其余元素均为零的特殊情形, 即28因为D的每一项都含有第一行中的元素, 但第一行中仅有a110, 所以D仅含有下面形式的项:等号右端方框内正是M11的一般项, 所以 D=a11M11, 再由A11=(-1)1+1M11=M11, 得到 D=a11A11.29(2) 其次讨论行列式D中第i行的元素除 aij外, 其余元素均为零的情形, 即30将D的第i行依次与第i-1,2,1各行交换后, 再将第j列依次与第j-1,2,1各列交换, 共经过i+j-2次交换D的行和列, 得31(3) 最后讨论一般情形32最后得33显然这一结果对任意i=1,2,n均成立. 同理可证将D按列展开的情形.34定理1.5 n阶行列式D=|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零, 即 ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is) 或a1jA1t+a2jA2t+anjAnt=0(jt) 证: 设将行列式D中第s行元素换为第i行 (is)的对应元素得到D1, 则D1两行相同, 因而D1=0, 再将D1按s行展开, 则D1=ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is) 同理, 可证D1按列展开的情形.35综合上面两个定理的结论, 得到36例1. 分别按第一行与第二列展开行列式37解: (1)按第一行展开38(2)按第二列展开39例2. 计算行列式解: 将D按第三列展开, 则应有 D=a13A13+a23A23+a33A33+a43A43 其中: a13=3,a23=1,a33=-1,a43=04041所以D=319+1(-63)+(-1)18+0(-10)=-2442计算行列式时, 可以先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开, 变为低一阶的行列式, 如此继续下去, 直到化为三阶或二阶行列式.43如例2中的行列式4445作业习题一(A) 第36页开始第13，14，31题46

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