随机数的生成方法

1、 随机数的产生对随机系统进行模拟，需要产生服从某种分 布的一系列随机数. ? 定义 设随机变量X（总体）服从某种随机分布，对其进行了n次独立观察,得到一组简单 随机样本 X1，X2，Xn ,满足1） X1，X2，Xn相互独立； 2）每一个X1，X2，Xn都与总体X 同分布. 利用某种方法得到一串数列r1 , r2 , , rn一随机数的概念在一定的统计意义下可作为随机样本 X1，X2，Xn 的一组样本值，称r1 , r2 , , rn一组具有与X相 同分布的随机数. 例1 设随机变量XB(1, 0.5), 模拟该随机变 量X的一组样本值. 一种简单的方法是抛一枚均匀硬币，观察出现正反面的情况， 出现正面记为数值“1”,否则记为“0”得：0，0，1，0，1，1，1，0，1，0，0，0，0，1，1，0，1，0, 可看成总体X 的一系列样本值,或称产生了 一系列具有两点分布的随机数. 需要寻求一种简便、经济、可靠, 并能在计 算机上实现的产生随机数的方法.数学软件有产生常用分布随机数的功能对特殊分布需要数据 量很大时 不太有效二.均匀分布随机数的产生最常用、最基础的随 机数是在（0,1）区间

2、 内均匀分布的随机数 (简记为RND) 理解为：随机 变量X U(0,1)的一组 样本值的模拟 值一般采用某种数值计算方法产生随机数序列， 在计算机上运算来得到.通常是利用递推公式：给定k个初始值1,2,k , 利用递推公式递推出一系列随机数1,2,，n,乘同余法混合同余法常用方法具有较好的 统计性质1乘同余法 递推公式为用M 除xn后得到的余数记 为xn+1其中是乘因子, M为模数(modulus),第一式是以 M为模数的同余式. 给定初值x0 (称为种子),递推计算出r1，r2， 即在(0, 1)上均匀分布的随机数序列.例2 取x0=1，=7，M=103，有 x0=71=7 ， x1=7 ， r1=7/1000=0.007x1=77=49 ， x2=49 ， r2=49/1000=0.049x2=749=343 ， x3=343 ，r3=343/1000=0.343x3=7343=2401 , x4=401 , r4=401/1000=0.401x4=7401=2807, x5=807 , r5=807/1000=0.807其余类推. 2 2混合同混合同余法余法 递推公式为递推公式

3、为用模 M 去除 xn+C的余数其中，C是非负整数. 例3 ：选=97，C=3，M=1000，得递推公式取定种子x0=71，得 97x03=6890， x1=890， r1=0.890 97x13=86333， x2=333， r2=0.33397x23=32304， x3=304， r3=0.30497x33=29491， x4=491， r4=0.49197x43=47830， x5=630， r5=0.630余类推，接下来的随机数是： 0.113，0.964，0.511，0.570，0.293，0.424， 0.131，0.710，0.873，0.684，0.351，0.050， 0.853 有下述问题： 1.数列rn是有周期的，周期LM（模数）； 因0xnM，数列xn最多有 M个相异值,从而rn也同样如此.2. 数列rn本质上是实数列, 给定初始值由递推公式计算出的一串确定的数列.不能简单 等同于真 正意义的 随机数.解决方法与思路：1. 选择模拟参数2. 对数列进行统计检验从计算机中直接调用 某种分布的随机数同样存 在类似问题.x。=1，=513，M=236 （L=23421

4、010）1） 周期的长度取决于参数x0, 入, M的选择； 2） 通过适当选取参数可以改善随机数的统计 性质. 几组供参考的参数值： x。=1，=7，M=1010 （L=5107）1. 选择模拟参数在计算机上编程产生随机数还应注意 浮点运算对周期的影响x。=1，=517，M=212 （L=2401012）2. 对数列进行统计检验无论用哪一种方法产生的随机数序列 (实数 列) RND, 都存在问题： 能否将其看着是在(0,1)上均匀分布的连续 型随机变量X 的独立样本值？对应的样本是否可以看成X的简单随机样本： 1）X1，X2，Xn相互独立； 2）Xi U(0, 1) , (i=1, 2，n) 需判断是否具有较好的统计性质：独立性 均匀性进行统计检验 三. 任意分布随机数的模拟l离散型随机数的模拟 设随机变量X 的分布律为 将P( n)作为区间(0, 1)的分点:P(0)P(1)P(2)P(3)01若随机变量 RU(0,1),有产生X的随机数的算法步骤 ： (1) 产生一个(0, 1)区间上均匀分布随机数r(RND); (2) 若 P(n1)rP(n) ，则令X 取值为xn. 例3 离散

5、型随机变量X的分布律如下 X=x P(x) 0 1 2 0.3 0.3 0.4 设r1，r2，rN是RND随机数，令x1，x2，xN 即具有X 的分布律的随机数. 从理论上讲, 已解决了产生具有任何离散 型分布的随机数的问题. 具体执行仍有困难,如X的取值是无穷多个的 情况. 可利用分布的自身特点,采用其他的模拟方法.例4 随机变量XB(n,p)，其分布律为随机变量X是 n 次独立贝努里试验中, 事件A 发生的总次数, 其中p=P(A). 在计算机上模拟 n 重贝 努里试验来产生二项分布 的随机数. 当p 较大而 计算精度要 求较高时 2）统计ri （i=1，2，n）中使得 重复循环得到: n1，n2，nk即所求随机数列.01p练习题： (1)生成100个服从B(20,0.3)的随机数 (2) 如何模拟参数为的泊松分布随机数？ri p的个数ni. .算法步骤： 1）产生n个RND r1，r2，rn； 2连续型随机数的模拟 利用在(0 , 1) 区间上均匀分布的随机数来模 拟具有给定分布的连续型随机数. 两种方法反函数法 舍选法 1) 反函数法设连续型随机变量Y的概率函数为 f(x),

6、需产 生给定分布的随机数. 算法:1）产生n个RND 随机数r1，r2，rn； 所得yi, i=1,2, ,n 即所求.基本原理： 设随机变量Y的分布函数F(y)是连续函 数，而且随机变量XU(0,1)，令Z=F1(X) 。 则Z与Y有相同分布. 证明 FZ(z)= PF1(X) z= PXF(z)=G(F(z) = F(z) 因G(x)是随机变量X 的分布函数：若Y的概率密度为 f(y)，由Y=F1(X)可得对给出定的(0, 1)上均匀分布随机数ri， 则具有给定分布的随机数 yi 可由方程 解出.例5 模拟服从参数为的指数分布的随机数，其 概率密度函数为若随机变量) XU(0, 1)1X U(0, 1)(1ri)与ri 均为RND 随机数 模拟公式可改写为问题：请考虑如何利用此公式模拟泊松流？优点：一种普通而适用的方法；缺点:当反函数不存在或难以求出时, 不宜于使 用.练习：生成100服从参数为10的指数分布的随机 数。2）舍选法基本思想：实质上是从许多RND随机数中选 出一部分, 使之成为具有给定分布的随机数.算法步骤： (1) 选取常数，使f(x)1，x(a, b)； (2)

7、产生两个RND 随机数r1 、r2，令 y= a(ba)r1 ； (3) 若 r2f(y)，则令x=y, 设随机变量X的概率密度函数为f(x)，存在 实数 ab，使 PaXb=1， 否则剔除 r1和r2, 重返步骤(2).重复循环, 产生的随机数x1，x2，xN的 分布由概率函数 f(x) 确定.舍选法算法原理分析： 设PaZb=1，Z的概率密度为f(z), 1. 选常数，使f(z)1，z(a，b)； 2. 随机变量X1，X2相互独立XiU(0, 1),令 Y1=a+(ba)X1U(a, b); 3. 若X2f(Y1)，则令 X = Y1，否则剔除X1， X2重复到(2)。则随机变量X的分布与Z相同。注可选取有限区间(a1, b1)，使得 是很小的正数. 例如取 a1=3,b1=3，有 在区间(a1, b1)上应用舍选法,不会出现较大 的系统误差. 3正态随机数的模拟产生正态分布 随机数的方法反函数法舍选法坐标变换法 中心极限定理1）坐标变换法 设r1，r2 是RND随机数，令则 x1, x2是相互独立的标准正态分布的随机数. 练习：用舍选取法生成100个服从以期望=20 ，标准差=10的正态分布的随机数。2）利用中心极限定理 产生服从N(,2)的算法步骤：(1) 产生n 个RND 随机数：r1，r2，rn， 一般 n10若取n=12，简化为计算x 是服从标 准正态分布 的随机数(3) 计算 y=x+.y 是服从 N(,2) 分布的随机数.原理分析设1，2，n是n个相互独立的随机变 量,且iU(0,1), i= 1,2, ,n,由中心极限定理知 渐近服从正态分布N(0, l ).

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