向量法-求二面角的大小

1、空间向量法-求二面角的大小 空间向量法-求二面角的大小 “空间向量法”-求二面角的大小，这个方法 在这几年高考解题中经常被不少考生运用运用“空间向量法”-求“二面角的大小”的解题基本步骤： 空间向量法-求二面角的大小 建立空间直角坐标系； 求出所需各点的坐标； 求出两个平面的法向量； 求出两个法向量的夹角； 写出所求二面角的大小。 空间向量法-求二面角的大小 建立空间直角坐标系； 求出所需各点的坐标； 求出两个平面的法向量； 求出两个法向量的夹角； 写出所求二面角的大小。 运用“空间向量法”-求“二面角的大小”的解题步骤： 空间向量法-求二面角的大小 建系； 求坐标； 求法向量； 求夹角； 得结论。 运用“空间向量法”-求“二面角的大小”的解题步骤： 设 a =(x,y,z)，则 x2+y2+z2|a|=设 A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2 ), 则 = AB(x2-x1,y2-y1,z2-z1 ) 设 a =(a1, a2, a3)，b =(b1, b2, b3)， a1b1+a2b2+a3b3 a b a b =0空间向量法的直角坐标运算的常用公式:则 a b =(1

2、)(2)(3)(4)(5)n1 n2 |n1|n2|cos=【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA平面ABCD , ADBCFE ,ABAD，AF=AB=BC=FE= AD.(1)求二面角A-CD-E的余弦值.BDCFE21A【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA平面ABCD , ADBCFE ,ABAD，AF=AB=BC=FE= AD.(1)求二面角A-CD-E的余弦值.ABDCFE21【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA平面ABCD , ADBCFE ,ABAD，AF=AB=BC=FE= AD.(1)求二面角A-CD-E的余弦值.A11112 BDCFE21KA(0,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1).解：以点A为原点, 建立如图的空间直角坐标系, 设AD=2, 则 BADCzyxFE设 平面ACD的一个法向量为n1 =(x1,y1,z1),平面CDE的一个法向量为n2 =(x2,y2,z2), 另外 AF =(0,0,1),(0,-1,1)CE =DE =(- 1,0, 1) 由 ,得n2 CE = 0n2 DE = 0又 AF平面

3、ABCD AF是平面ACD的一个法向量 , n1 =(0,0,1). -x2+z2 = 0-y2+z2= 0得x2=z2 y2=z2令z2= 1, 则 n2 =(1,1,1), 11111【例1】如图，在五面体ABCDEF中, FA平面ABCD , ADBCFE ,ABAD，AF=AB=BC=FE= AD.(1)求二面角A-CD-E的余弦值.21n1 n2 |n1|n2| cos= 1 31=33=由条件知,二面角A-CD-E为锐角， 所求二面角的余弦值为33211【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中, ABC=90O , SA面ABCD，SA=AB=BC=1, AD= .(1) 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 .21ABCDSABCDS11121【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中, ABC=90O , SA面ABCD，SA=AB=BC=1, AD= .(1) 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 .21【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中, ABC=90O , SA面ABCD，SA=AB=BC=1,

4、AD= .(1) 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 .21ABCDS11121zxyABCDS11121zxy(1) 解:以点A为原点,建立如图的空间直角坐标系 A-xyz,得: A(0,0,0), B(0,1,0),C(1,1,0), S(0,0,1), 设 平面SCD的一个法向量为n1 =(x1,y1,z1),由 ,得n1 SC = 0n1 SD = 0另外 SC =(1,1, -1) , SD =( ,0,-1), 21得y1=-z1 x1=2z1 令z1= 1, 则 n1 =(2,-1,1), x1+y1- z1=0x1-z1 = 021平面SBA的一个法向量为n2 =(x2,y2,z2), 又 BC平面SBA BC是平面SBA的一个法向量 .BC =(1,0, 0) , n2 =(1,0,0), D( ,0,0) 21【练习1】 如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中, ABC=90O , SA面ABCD，SA=AB=BC=1, AD= .(1) 求面SCD与面SBA所成二面角的正切值 .21n1 n2 |n1|n2| cos= 62=1= 36得 tanq

5、= 22 所求面SCD与面SBA所成二面角的正切值是22设 所求面SCD与面SBA所成二面角的大小为q, 由图形知q是锐角, cosq = 36【练习2】 已知点E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、CC1上的点, 且 BE1=2EB, CF=2FC1 .(1) 求面AEF与面ABC所成二面角的正切值 .【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.(2) 求二面角C-AM-N的大小 .(1) 证明: AN平面PAD .BDCPMAN【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.(2) 求二面角C-AM-N的大小 .(1) 证明: AN平面PAD .ABDCPM(1) 证明: PA底面ABCD, N为BC的中点. PAAN又 菱形ABCD, ABC=60O . ANAD AN平面PAD又 PAAD=A ,N【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为

6、2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.(2) 求二面角C-AM-N的大小 .(1) 证明: AN平面PAD .ABDCPM(2) 分析:N【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.(2) 求二面角C-AM-N的大小 .(1) 证明: AN平面PAD .ABDCPM(2) 分析:N【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.(2) 求二面角C-AM-N的大小 .(1) 证明: AN平面PAD .ABDCPM(2) 分析:N? 平面AMC或 C? 平面AMNN? 平面APC或 C? 平面AMN或 平面C? 平面AMN平面N?平面APCNF【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.(2) 求二面角C-AM-N的大小 .(1

7、) 证明: AN平面PAD .ABDCPM(2) 分析:N? 平面AMC则 NE平面APCE或 C? 平面AMNN? 平面APC或 C? 平面AMN平面NAC平面APC 或 平面C? 平面AMN平面NAC 平面APC = AC 作 NEAC于E ,则 NFAM作 EFAM于F , NFE是二面角C-AM-N的一个平面角N(2) 求二面角C-AM-N的大小 .(1) 证明: AN平面PAD .F ABDCPME(2) 解: PA底面ABCD, N为BC的中点.PA底面ANC 又 M为PC的中点, PA平面AMC 底面ANC平面AMC 又 底面ANC平面AMC = AC则 NE平面APC作 NEAC于E ,则 NFAM作 EFAM于F , NFE是二面角C-AM-N的一个平面角.【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.N(2) 求二面角C-AM-N的大小 .(1) 证明: AN平面PAD .F ABDCPME(2) 解: NFE是二面角C-AM-N的一个平面角. 菱形ABCD的边长

8、为2, ABC=60O , PA=2 ,M,N分别为PC,BC的中点.在NFE中, 可得: tanNFE= AM AQ NE=3 23 42, EF= 3 2 3 42= 6 3 二面角C-AM-N的大小是 arctan6 3【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.N(2) 求二面角C-AM-N的大小 .(1) 证明: AN平面PAD .ABDCPM(2) 分析:【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.如何 运用”空间向量法”, 求二面角C-AM-N的大小?N(2) 求二面角C-AM-N的大小 .(1) 证明: AN平面PAD .ABDCPMN(2) 解:【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.以点A为原点,建立如图的空间直角坐标系 A-xyz ,空间向量法-求二面角的大小 建系; 求坐标; 求法向量; 求夹角; 得结论. 小结运用这个方法解题的五个基本步骤： 本节课学习了：求“二面角的大小”的一个方法“空间向量法”F【练习3】 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面是边长为2的菱形, ABC=60O , PA底面ABCD,PA=2, M,N分别为PC,BC的中点.(2) 求二面角C-AM-N的大小 .(1) 证明: AN平面PAD .ABDCPMN(2) 分析:E

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