4.极限运算法则
50页1、1,第一章,二、 极限的四则运算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、无穷小与无穷大,第四节,极限运算法则,2,利用极限的定义可以验证一个函数在某一极限过程,是否以常数A为极限,一般来说是比较繁琐的。但今后遇,到的最多的问题是判断一极限过程中函数有没有极限?,如果有如何求出极限.这往往是通过一些已知的简单极,限去寻求比较复杂的函数的极限,这就要用到极限的运,算法则。,本节介绍的几个定理,不仅可以用来求一些函数的,极限,也可以用来判断某些函数的极限是否存在,并可以,导出其他一些运算法则.学习时注意结论和结论的条件.,极限运算法则,3,一、无穷大与无穷小,无穷小:,注意:无穷小与很小的数的区别。,定义:如果当 (或 )时函数的极限为零,那么 叫做 (或 )时的无穷小.以0为极限的数列 也称为 时的无穷小.,4,在 的变化过程中是否为无,穷小量,与 x 的变化趋势有关。,如当,5,其中 (x) 为,时的无穷小量 .,定理 . ( 无穷小与函数极限的关系 ),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证 .,6,时, 有,无穷小的性质,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考
2、虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,7,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如,,类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .,(P57,题3),8,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,9,例1. 求下列无穷小的和的极限,解:,10,例2. 求,解:,利用定理 2 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,11,12,13,14,15,16,17,18,19,二、 无穷大,20,定义2 .,若任给 M 0 ,一切满足不等式,的 x , 总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X ) ,记作,总存在,21,注意,1)无穷大是变量, 它是描述函数的一种状态,它不是很大的数,不能与很大的数混淆.,3) 无穷大是一种特殊的无界变量, 但,2)不可认为 极限存在;,是无界变量未必是无穷大.,有界
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