7机械振动习题思考题
10页1、习题 77-1原长为 的弹簧,上端固定,下端挂一质量为 的物体,当物体静m5.0 kg1.0止时,弹簧长为 现将物体上推,使弹簧缩回到原长,然后放手,以放手6时开始计时,取竖直向下为正向,写出振动式。 (g 取 9.8)解:振动方程: ,在本题中, ,所以 ;cos()xAtxm9.8 。9.801k取竖直向下为 x 正向,弹簧伸长为 0.1m 时为物体的平衡位置,所以如果使弹簧的初状态为原长,那么:A=0.1m, 当 t=0 时,x=-A,那么就可以知道物体的初相位为 。所以: 即: 。.cos98t( ) 0.1cos(98)xt7-2有一单摆,摆长 ,小球质量 , 时,小球正好经过0.1l g处,并以角速度 向平衡位置运动。设小球的运动可rad06.2rad/s&看作简谐振动,试求:(1)角频率、频率、周期;(2)用余弦函数形式写出小球的振动式。 (g 取 9.8)解:振动方程: 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。cos()xAt(1)角频率: ,9.831/radsl频率: ,10.52gHz周期: ;29.8lTs(2)振动方程可表示为: ,co3.1At( )3.1si
2、n.3At&( )根据初始条件, 时: ,0s 0(12sin34.A&、可解得: ,2008.7132m、所以得到振动方程: 。2.co.tm( )7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体,最初用手将物体在处托住,然后放手,此系统便上下振动起来,已知物体最低位置是初始位置下方 处,求:10.c(1)振动频率;(2)物体在初始位置下方 处的速度大小。c0.8解:(1)由题知 2A=10cm,所以 A=0.05m,选弹簧原长下方 0.05m 处为平衡位置; 由 ,知 , ,0kxmg209.8165kx1964k振动频率: ;17()2Hz(2)物体在初始位置下方 处,对应着是 x=0.03m 的位置,所以:8.cm,由 ,有: ,3cos5xA22osin14sin5而 ,那么速度的大小为: 。inv0.6/vAs7-4一质点沿 轴作简谐振动,振幅为 ,周期为 。当 时,位移为xc220t,且向 轴正方向运动。求:(1)振动表达式;(2) 时,质点cm6 5.的位置、速度和加速度;(3)如果在某时刻质点位于 ,且向 轴负cmxx方向运动,求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解:(1)由题
3、已知 A=0.12m,T=2 s , T又t=0 时, , ,由旋转矢量图,可知:06xc0v3故振动方程为: ;.12os3t、(2)将 t=0.5 s 代入得:,0.1co0.c.10436x m( ),in2os8/vt s( ),2 2.cs.c.3a、方向指向坐标原点,即沿 x 轴负向;(3)由题知,某时刻质点位于 ,6mA且向 轴负方向运动,如图示,质点从 位置回到xP平衡位置 处需要走 ,建立比例式: ,Q322tTPxAQ有: 。56ts7-5两质点作同方向、同频率的简谐振动,振幅相等。当质点 1 在 处,且向左运动时,另一个质点 2 在 处,且向右运动。2/1Ax 2/Ax求这两个质点的位相差。解:由旋转矢量图可知:当质点 1 在 处,且向左运动时,/x相位为 ,3而质点 2 在 处,且向右运动,2/A相位为 。4所以它们的相位差为 。7-6. 质量为 的密度计,放在密度为 的液体中。已知密度计m圆管的直径为 。试证明,密度计推动后,在竖直方向的振动为d简谐振动。并计算周期。解:平衡位置:当 时,平衡点为 C 处。设此时进入水中FG、的深度为 a: gS可知浸入水中为
4、 a 处为平衡位置。 以水面作为坐标原点 O,以向上为 x 轴,质心的位置为 x,分析受力:不管它处在什么位置,其浸没水中的部分都可以用 来表示,所以力a,利用牛顿定律: ,()FgxSgS2dFmt再令: ,可得: ,可见它是一个简谐振224dm02xt动;周期为: 。Tdg7-7证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为: 。mk)(2121证明:两根弹簧的串联,由相互作用力相等,有: ,将串联弹簧等12kx效于一根弹簧,仍有: ,考虑到 ,12kxkx可得: ,所以: 12k12代入频率计算式,可得: 。mk)(217-8当简谐振动的位移为振幅的一半时,其动能和势能各占总能量的多少?物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半?解:由 , ,有: ,21PEkx21kmv2cos()PEkAt,2sin()sin()kmAtt(1)当 时,由 ,2xco()xt有: , ,1cos()t 3sin2 , ;4PE3k(2)当 时,有:12Pk22cos()sin()tt , 。cos()t0.7xA7-9两个同方向的简谐振动曲线( 如图所示) (1)求合振动的振幅。(2)求合振动的振
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