1、1树冠的受光面积研究摘要随着人民生活水平的不断提高，对农副产品的生产质量要求也在提高。其中太阳光照的强度和时间是影响农副产品的重要条件之一，太阳的光照时间和光照强度在不同的时间和不同的地方是不同的。对于问题一，先查得秋分太阳的直射纬度，并根据太阳高度角的计算公式，求得白天间隔一小时的太阳高度角的具体数值，发现上午和下午对应时刻的太阳高度角是相同的。对于问题二，先通过作图分析出球形树冠一天中超过 8 小时的受光示意图，由太阳高度角，及运用积分公式，得出了球形树冠的受光面积与太阳高度角的关系。再作出圆锥形树冠的受光示意图，发现圆锥形树冠受光面积为零，由此得出球形树冠比圆锥形树冠 8 小时的受光面积大。对于问题三，将日期换算成日角，代入问题二已经得到球形树冠的受光面积与太阳高度角的关系，即得到球形树冠一天超受光面积的变化规律。对于问题四，可以结合前面三问的结果，使树顶尽量平整光滑，充分受光，得到最优树冠，如图（4） 。关键词：太阳高度角 受光面积 球形树冠 锥形树冠 超受光面积 一、问题重述问题背景:随着经济的迅速发展，人民对生活的质量要求越来越高，尤其对农副产品的质量要求更高。商丘是苹果梨
2、等水果的优质生产区，而这些水果的生长与光照时间和光照强度有密切联系，所以我们有必要了解本地光照的相关知识，以便更好地管理和生产。2问题提出：（就商丘市地理位置）1) 建立秋分这一天计算太阳高度角的模型，并以此算出白天每间隔一小时太阳高度角的具体数值。2) 计算球形树冠一天超过 8 小时的受光面积，并在相同条件下比较锥形树冠的受光面积。3) 分析 4 月 1 日到 10 月 15 日球形树冠一天超受光面积的变化规律。4) 设计一种树冠，使其在该地一天超过八小时的受光面积充分大。二、问题分析问题一：秋分这一天太阳的直射纬度和商丘市的地理位置可以查到，根据太阳高度角的计算公式，代入即可。再将 6 点至 18 点各个时刻代入所得到得公式，就能算出白天每间隔一小时太阳高度角的具体数值。问题二：先做出球形树冠受光示意图，分析出超过八小时的受光面积为哪一部分，建立空间坐标系。运用曲线积分求得受光面积（锥形树冠受光面积方法一样）。问题三：根据问题二求得的公式可以得到受光面积与太阳高度角的关系，只要再分析出太阳高度角与日期的关系即可。问题四：可以根据前三问的结果，分析找出影响树冠受光面积的因素，并进行优
3、化得到受光面积充分大的树冠。三、模型假设1. 假设球形树冠就是一个标准的圆球体，半径为 R；2. 假设圆锥形树冠就是一个标准的圆锥体；3. 假设球形树冠与圆锥树冠是在相同环境下观察的；4. 假设一天中的天气稳定，一直都有阳光照射；5. 忽略灰尘、空气等对太阳光的折射的影响；6. 假设商丘地区秋分当天早上 6 点日出，下午 6 点日落；7. 假设以地球为参照物，太阳是做匀速直线运动的；8. 假设在 4 月 1 日到 10 月 15 日期间，天气都是晴天3四、符号说明：太阳高度角h：太阳赤纬：观测地纬度：24 小时时钟T：球形树冠的半径R：上午 9 点的太阳高度角：下午 5 点的太阳高度角：球形树冠超过 8 小时的受光面积S：日角ED：太阳赤纬角五、模型建立与求解51 计算太阳高度角太阳高度角的定义：太阳高度角简称太阳高度(其实是角度) 太阳高度是决定地球表面获得太阳热能数量的最重要的因素。 我们用 来表示这个角度，它在数值上等于太阳在天球地平坐标系中的地平高度。h对于地球上的某个地点，太阳高度是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角,专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与该地作垂直于地心的地
4、表切线的夹角。4图 1一般时间太阳高度角的计算：太阳高度角随着地方时和太阳的赤纬的变化而变化。太阳赤纬（与太阳直射点纬度相等）以 表示，观测地地理纬度用 表示（太阳赤纬与地理纬度都是北纬为正，南纬为负） ，地方时(时角) 以 表示，有太阳高度角的计算公式：tthcos*cosin*sin其中 ， T 为 24 小时时钟 t12*5（1）查得商丘地区的地理位置是 115.40 E，34.27 N 即 =34.27 秋分时太阳直射点纬度 =23.5 ，代入（1）式，由 MATLAB 软件编程（见附录）得到白天间隔一小时的太阳高度角如下：时间 T 时角 t太阳高度角 h6 点/18 点 90 12.97541723520753 7 点/17 点 75 24.877499354135718 点/16 点 60 37.11804153098605 9 点/15 点 45 49.5008362300907210 点/14 点 30 61.74534491338260 11 点/13 点 15 73.0504923716897412 点 0 79.23000000000000 表 1 由表 1 可知
5、上午和下午对应时刻的太阳高度角是相同的。552 计算球形树冠的受光面积，并与圆锥形树冠的受光面积做比较5.2.1 球形树冠的受光面积图 2 为球形树冠的受光示意图。图 2由问题一得到，上午 9 点的太阳高度角为 ，下午 5 点的太阳高度角为 。那么超过 8 小时的受光面积就为褐色包围的面积，求出圆的方程，以及上午 9 点和下午 5点两个时刻圆与 y 轴的夹角区间，再积分就可以得到受光面积。首先，空间中的圆可以看成是过圆的平面 与球的交线，而由图可知，平面上的点 为（0.， ， ） ，光线 L 垂直于平面 ，L 与 y 轴、z 轴的交点分别Asin*Rcos为（0， ，0） ， （0，0， ） ，则平面 的法矢量为（0， ，/ cs/Rsin/R） ，于是，平面 的点法式方程为：cos/ )cos*(o/)in*(sin/)(* Rzyx化简后得到 即为 平面的方程。taz显然球的方程为： 22Rzyx（2）将 代入（2）式得到： 。tan*zy 22sec*Rzx6其参数方程为： .20,sin*ec/oRzx于是，球形树冠的受光面积为： （3）*2S 2/ 222 dcos*se/s
6、isii sec R代入数值即可得到超过 8 小时的受光面积。5.2.2 圆锥形树冠的受光面积图 3 为圆锥形树冠的受光示意图。图 3由图 3 可知，由假设知太阳相对地球是直线运动的，则在一天内圆锥形树冠只有顶点和截面（图中阴影部分）的两条侧棱受到了超过 8 小时的光照，故受光面积为零。综上可知，球形树冠比圆锥形树冠的受光面积大。53 球形树冠受光面积的变化规律我们知道太阳高度角随着地方时和太阳的赤纬的变化而变化。而太阳赤纬角在周年运动中任何时刻的具体值都是严格已知 的，所以太阳赤纬角（ED）表达式为：7（4 3cos021. 2cos365.0cos758.3sin172.0sin149.0in567. ED）式中 称日角，即 24.365/t这里 又由两部分组成，即 ,式中 N 积日，所谓积日，就是日期在年内t 0N的顺序号，例如，1 月 1 日其积日为 1，平年 12 月 31 日的积日为 365，闰年则为366，等等。 =79.67640.2422（年份1985）INT（年份1985）4 （式0N中 INT 表示取整数部分，例如 INT(3.25)3）把（4）式代入（1）式,就
7、得到太阳高度角（ ）与日期的关系，再将得到的式子代入（3）式，即可得到超受光面积与日期的关系。再将 4 月 1 日到 10 月 15 日分别换算成日角代入，就是球形树冠一天超受光面积的变化规律。54 最优树冠设计问题二告诉我们，球形树冠比圆锥形树冠受光面积大，说明球形树冠在受光面积上占优势，若使超过八小时的受光面积充分大，应尽量扩大树冠顶部的受光面积，即顶部尽量平整，树要尽量高大，如图（4）所示:8图 4六、模型分析通过分析发现，树冠的受光面积与太阳高度角有很大关系，也与自身树冠形态有关，如果树冠的受光面积足够大，那么将对农副产品的产量有很大帮助。可以通过修剪枝叶，来改变树冠形状，使树得到充足的光照。七、模型评价优点：本文建立的模型较单，所用知识比较初等，解决问题的方法容易理解。缺点：数据不够充分，考虑的因素也不够充足，可能与实际有偏差。八、参考文献1、气象与环境科学 第 30 卷增刊 2007 年 9 月2、百度百科 太阳高度角 http:/ 访问时间（2011 年 7 月 27 日）3、吕林根、许子道 解析几何（第四版） 高等教育出版社4、华东师大数学系 数学分析（第三版） 高等教育出版社5、姜启源、谢金星、叶俊 数学模型（第三版） 高等教育出版社 6、萧树铁、姜启源、张立平等 大学数学（第二版） 高等教育出版社7、周品、何正风 MATLAB 数值分析（第一版） 机械工业出版社九、附录MATLAB 程序：9M 文件：
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