1、2024-2025学年安徽省皖南八校高一下学期4月期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=(12i)(32i)，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.在三棱台ABCABC中，截去三棱锥AABC，则剩余部分是()A. 三棱锥B. 三棱台C. 四棱锥D. 三棱柱3.e1，e2是平面内不共线的两向量，已知AB=e1ke2，CB=3e1+4e2，CD=4e1+e2，若A，C，D三点共线，则k的值为()A. 72B. 72C. 3D. 34.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=4，b=10，若满足条件的ABC有两个，则a的值可能为()A. 7B. 5 2C. 9D. 105.已知a，b是两个单位向量，且向量a+4b在向量a上的投影向量为3a，则向量a，b的夹角=()A. 3B. 4C. 6D. 36.如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：AB=20 3cm，AD=10cm，BE=14cm，
2、A=B=6，则破裂的断点D，E两点间距离为()A. 10 3cmB. 15cmC. 10 2cmD. 14cm7.如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为3，4，5，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为()A. 36B. 38C. 40D. 428.已知ABC中，AB= 3，ACB=3，O是ABC外接圆的圆心，则OCBCOCBA的最大值为()A. 1B. 3C. 2D. 2 3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,3)，b=(2,4)，则下列选项正确的是()A. a，b能作为平面内所有向量的一组基底B. (a+b)aC. |a+2b|=10D. a，b的夹角为3410.已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是()A. 若|z1|=|z2|，则z12=z22B. 若|z1z2|=0，则z1=z2C. 若z1+z20，则z2z1D. |z1z2|=|z1|z2|11.如图，一圆锥的侧面展开图中，AC=3，弧BC长为2 3，则下列说法正确的是()A. 该圆锥的侧面积为3 3B.
3、 该圆锥的体积为 6C. 该圆锥可以整体放入半径为74的球内D. 该圆锥可以整体放入边长为2 2的正方体中三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在复平面内，向量OA对应的复数z1=1+2i，OA绕点O逆时针旋转90后对应的复数为z2，则|z1z2|=13.如图，ABC为水平放置的ABC的直观图，其中AB=2，AC=BC= 5，则ABC的面积为14.有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的四边形，如图，AB=1，BC=3，CD=2，DA=4，则组成的四边形ABCD面积的最大值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数z和它的共轭复数z满足3z+z=4+4i(1)求z;(2)若z是关于x的方程x2+px+q=0(p,qR)的一个根，求复数q+pi的模长16.(本小题15分)记ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知2a=bcosC+ccosBcosA(1)求A;(2)若a=1，sinB+sinC= 62，求ABC的面积17.(本小题15分)如图，已知圆台
4、的轴截面为梯形ABCD，AB=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6 2(1)求圆台的体积;(2)在圆台的侧面上，从点A到点C的最短路径长度是多少?18.(本小题17分)在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，BAD=3，F是线段AD的中点，点E在直线DC上，且DE=DC(11)(1)当=13时，求AEBF的值;(2)当=12时，AE与BF交于点N，AN=xAB+yAD，求xy的值;(3)求FEBE的最小值19.(本小题17分)在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，满足X(a,b)=|x1y2x2y1| x12+y12 x22+y22，则称X(a,b)为这两个向量的“协方差”(1)若X(a,b)=0，证明：a/b(2)已知向量a，b的夹角为1，向量c，d的夹角为2，且X(a,b)=X(c,d).证明：sin1=sin2(3)在ABC中，线段BM，CN为ABC的两条内角平分线，点M，N分别在AC，AB边上，A=60，且3BNBM=2BCBM，求X(CA,CB).参考答案1.B2.C3.A4.C5.A6.D7.B8.C9.ABD10.BD11.AB
5、D12. 1013.4 214.2 615.解：(1)设z=a+bi(a,bR)，则z=abi，则3z+z=3(a+bi)+(abi)=4a+2bi=4+4i，所以4a=42b=4，解得a=1，b=2，故z=1+2i；(2)z是关于x的方程x2+px+q=0(p,qR)的一个根，z是关于x的方程x2+px+q=0(p,qR)的另一个根，1+2i+12i=p(1+2i)(12i)=q，解得p=2，q=5，|q+pi|=|52i|= 2916.解：(1)2acosA=ccosB+bcosC，2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA，sinA0，得cosA=12，又A(0,)，则A=3(2)A=3，a=1，由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=1 32=2 3，则sinB=2 3b，sinC=2 3c，sinB+sinC= 62，2 3b+2 3c= 62，得b+c= 2，由余弦定理得1=b2+c22bccos3，得bc=13，则ABC的面积S=12bcsinA= 31217.解：(1)由AB=4，CD=2，得圆台的下底面的半径为R=2，上
6、底面的半径为r=1，设圆台的高为，则12(2+4)=6 2，所以=2 2，所以圆台的体积为V=13(r2+R2+Rr)=13(12+22+12)2 2=14 23(2)在梯形ABCD中，BC= (21)2+(2 2)2=3，即母线长为3如图，由圆台性质，延长AD，BC，OO1交于点P，由PDC与PAB相似，得PCPC+BC=rR，即PCPC+3=12，解得PC=3设该圆台的侧面展开图的圆心角为，则3=2r=2，所以=23，在侧面展开图中，连接AC，PC，则从点A到C的最短路径为线段AC，又在PAC中，PC=3，PA=6，CPA=1223=3，由余弦定理得AC2=PA2+PC22PAPCcos3，所以AC= 62+3226312=3 3验证知，由PC=3，PA=6，AC=3 3，得PA2=AC2+PC2，此时ACPC，恰与扇形弧CC所在圆相切于点C，满足题意18.解：(1)AEBF=(AD+DE)(AFAB)=(AD+13AB)(12ADAB)=12AD213AB256ABAD=181635612=83(2)当=12时，DE=12DC，即E为DC的中点，因为F，N，B三点共线，设FN=t
7、FB，则AN=AF+FN=AF+tFB=AF+t(ABAF)=(1t)AF+tAB=1t2AD+tAB因为A，N，E三点共线，设AN=AE，则AN=AE=(AD+DE)=(AD+12AB)=AD+2AB，又AD，AB不共线，根据平面向量基本定理得，=1t2,12=t,解得t=15,=25,所以AN=15AB+25AD，又AN=xAB+yAD，则x=15,y=25,所以xy=1525=15(3)因为BE=BA+AD+DE=AB+AD+DC=(1)AB+AD，FE=FD+DE=12AD+DC=AB+12AD，所以BEFE=(1)AB+AD(AB+12AD)=(2)AB2+12AD2+(3212)ABAD=(2)42+1262+(3212)4612=16(2)+18+186=162+2+12，因为1,1，所以当=2216=116时，BEFE取得最小值，且最小值为1911619.(1)证明：因为X(a，b)=0，由题意得|x1y2x2y1| x12+y12 x22+y22=0，所以|x1y2x2y1|=0，即x1y2x2y1=0，因为a，b为非零向量，所以a/b;(2)证明：因为cos 1=x1x2+y1y2 x12+y12 x22+y22， 10,，所以sin 1= 1cos21= (x12+y12)(x22+y22)(x1x2+y1y2)2 x12+y12 x22+y22=|x1y2x2y2| x12+y12 x22+y22=X(a，b)，同理sin 2=X(c，d)，因为X(a，b)=X(c，d)，所以sin 1=sin 2(3)因为3BNBM=2BCBM，所以3|BN|BM|cosMBN=2|BC|BM|cosMBC，所以3|BN|=2|BC|，设BCN=，则BNC=60+，在CBN中，由正弦定理，得|BN|BC|=sinsin(60+)=23，解得tan= 32，则sin= 217，cos=2 77，故sinACB=sin2=2sincos=4 37，所以X(CA,CB)=sinACB=4 37第8页，共8页
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