4.2 Newton-Cotes求积公式

1、4.2 Newton-Cotes求积公式,总结,4.2.3 Newton-Cotes公式的误差分析,4.2.2 Newton-Cotes求积公式,4.2.1 插值型求积法,数值求积法与代数精度,我们的目的就是根据一定原则,选择求积节点xk和系数Ak，使得求积一般公式(4.2.1)具有较高的精确度, 同时又计算简单。,权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x) 的具体形式。,使积分公式具有通用性,右端公式称为左端定积分的某个数值积分公式其中xk称为积分节点, Ak为求积系数, 也称之为伴随节点xk的权,(4.2.1),一、求积公式的代数精度,记,称(4.2.2)为数值求积公式,(4.2.3)为求积公式余项(误差).,构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有,(i) 确定求积系数Ak和求积节点xk ； (ii)求积公式的误差估计和收敛性,为了构造形如式(4.2.1)的求积公式,需要提供一种判定求积方法精度高低准则.用什么标准来判定两个节点数相同的求积公式的“好”与“差”呢？通常用“代数精确度”的高低作为求积公式“好”与“差”的一个标准在后面的讨论中我们将看到，节点相同的求

2、积公式，代数精确度越高，求出的积分近似值精确度一般越好下面给出代数精确度的定义,数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念由于闭区间a,b上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式能对多大次数的多项式 f (x) 成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。,定义4.1 如果某个求积公式对于次数m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次代数精度,注：讨论具体问题时，不可能把所有次数小于或等于m的多,因此有等价定义。,项式列出来验证，因此只要验证对1，x,xm 精确成立即可。,等价定义4.1若(4.2.1)对于1，x,xm都精确成立，对xm+1不精,确成立，则称(4.2.1)的代数精度为m。,因为函数组(1，x, xm)是的 一组基函数,所以两个定义是等价的,但在具体应 用时，定义4.1比定义4.1要方便的多,由定义4.1可知，若求积公式（4.2.1）的代数精度为m，则求积系数Ak应满足线性方程组：,（4.2.4）,这是关于Ak的线性方程组，其系数

3、矩阵,是范得蒙矩阵, 当 互异时非奇异, 故 有唯一解。,如果事先选定求积节点，如，以区间a,b的等距节点依次为节点，这时取m=n，求解上述线性方程组(4.2.4), 即可确定系数从而使求积公式至少有m=n次代数精度。具体示例在下面一节中介绍。,例4.4 考察其代数精度。,梯形公式,解：逐次检查公式是否精确成立,代入 P0 = 1：,=,代入 P1 = x ：,=,代入 P2 = x2 ：,代数精度 = 1,分析：由等价定义,求代数精度，只对最简单的函数xm来验证。,解：,所以该求积公式的代数精度m=3。,例4.5,例4.6 试构造形如 f(x)dx A0 f(0)+ A1 f(h)+ A2 f(2h) 的数值求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数.,3h 0,解: 令公式对 f(x)=1,x, x2 均准确成立,则有,故求积公式的形式为,而当f(x)=x3时, 公式的左边=81h4 /4, 右边=18h4, 公式的左边右边,说明此公式对 f(x)=x3不能准确成立. 因此,公式只具有2次代数精度.,由公式的构造知,公式至少具有2次代数精度;,二、数值求积公式的收敛性与

4、稳定性,定义4.2 在求积公式 中，若 其中 ，则称求积公式是收敛的 由于计算 f (xk)可能有误差,实际得到 定义4.3 对任给 e 0,若 (k=0,1, ,n), 就有 , 则称求积公式是稳定的.,定理4.1 表明，只要求积系数Ak0 (k0,1,n)，就能保证计算的稳定性,定理4.1 若求积公式(4.2.1)中系数Ak0 (k0，1，n)，则此求积公式是稳定的,证明:,所以求积公式(4.2.1)是稳定的,问题：,4.2.1 插值型求积法,插值基函数,插值多项式,1、方法,与f 无关,记为Ai,其中求积系数,(4.2.5),定义4.4 对给定互异求积节点 ,若求积系数,是由(4.2.6)给出的，则称该求积公式是插值型的。,此时数值求积公式(4.2.5)称为（内插）插值型求积公式。,由 节点 决定， 与 f(x) 无关,2、求积余项,若 , (4.2.5)是插值型求积公式,其中与变量x有关,记作 x 。,特别地, 如果求积公式是插值型的, 按余项式, 对于次数 n的多项式 f (x)，其余项R f 等于0，因而这时求积公式至少具有n次代数精度,则有余项公式,定理4.2 形如 的求

5、积公式至少有 n 次代数精度 该公式为插值型（即： ）,证明 充分性 若求积公式至少具有n次代数精度,则对n次多项式,精确成立,即,而,取 时,所以有 ,即求积公式为插值型求积公式,证:必要性 设n+1个节点的求积公式 为插值型求积公式,求积系数为 又 当f(x)为不高于n次的多项式时, f(x)=Ln(x) , 其余项R(f )=0。因而这时求积公式至少 具有n次代数精度。,注意：n+1个节点的内插型求积公式至少具有n次代数精度，这里：代数精度数与节点数的关系要注意。,推论1 求积系数满足:,(可用此检验计算求积系数的正确性),例4.7 给定求积公式如下：,试证此求积公式是插值型的求积公式,证:设 ,则以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为,由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。,插值型求积公式为,练习4.1 求证,不是插值型的求积公式。,证明: 设 x0 = -1, x1 =0, x2 =1, A0 =1/2, A1=1, A2=1/2 则以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为,构造插值求积公式有如下特点： 复杂函数f(x)的积分转化为计算多

6、项式的积分 求积系数Ak只与积分区间及节点xk有关，而与被积函数f(x)无关，可以不管f(x)如何，预先算出Ak的值 n+1个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度 求积系数之和 可用此检验计算求积系数的正确性,(1) 在积分区间a,b上选取节点xk (2) 求出f(xk)及利用 或解关于Ak的线性方程组求出Ak，这样 就得到了,(3) 利用f(x)=xn,验算代数精度,构造插值求积公式的步骤,例4.8 对 构造一个至少有3次代数精度的求积公式,确定求积系数Ak(k=0,1,2,3),利用求积系数公式,因为求积公式有4个节点，所以至少具有3次代数精度，只需将f(x)=x4代入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入两端不相等，所以只有3次代数精度,解: 3次代数精度需4个节点, 在0,3上取0,1,2,3四个节点构造求积公式,解： 因要求所构造的求积公式是插值型的，故其求积系数可表示为,故求积公式为,例4.9 给定求积节点 试推出计算积分 的插值型求积公式，并写出它的余项。,其中属于(0,1)并依赖于x。,若 在0,1上存在，则该求积公式的余项为,在插值求积公式,中,当所取节点是等距时称

7、为牛顿-柯特斯公式. 其中 插值多项式 求积系数,这里 是插值基函数。,4.2.2 牛顿柯特斯(Newton-Cotes)求积公式,1、求积系数的形式：,节点等距分布：,把a, b n 等分，用插值Ln(x)近似 f(x)积分，有,Cotes系数,因此,Newton-Cotes公式为,称为柯特斯系数.柯特斯系数不但与被积函数无关，而且与积分区间也无关,Newton-Cotes公式是一类数值积分公式，它是封闭公式（区间端点也是积分节点），它是由拉格朗日插值公式推导来的,由于是多项式积分，Cotes 系数计算不会遇到实质性困难。,2、常用的Newton-Cotes公式：,这就是抛物线公式，又称辛浦生 Simpson 公式 。几何意义 就是用抛物线下的面积近似曲线f(x)下的面积。,当n=3时，NewtonCotes公式称为Simpson 法则(公式),(4.2.12),这就是柯特斯公式（Cotes ) 当n 较大时，例如 n=8 时，系数 中出现负数，而且有正有负会使舍入误差增大，数值稳定性较差，因此实际计算并不用 n较大的 公式，而是将区间a,b 分割成若干个小区间，对每个或几个小区间应

8、用n 较小的公式去计算。Cotes系数表附后.,(4.2.13),当n = 8时，从表中可以看出出现了负系数，从而影响稳定性(Ak0)和收敛性，因此实用的只是低阶公式。,Cotes 系数仅取决于 n 和 i，可查表得到(给出了n从18的柯特斯系数)。 Cotes 系数与 f (x) 及区间a, b均无关。,例4.10 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分 的近似值 (计算结果取5位有效数字),(1) 用梯形公式计算,(2) 用辛卜生公式,(3) 用柯特斯公式计算，系数为,积分的准确值为,可见，三个求积公式的精度逐渐提高。,引理：n阶Newton-Cotes公式的代数精度至少是n.,证明：如果f (x)是一个次数不超过n次的多项式，则f (n+1)(x)0, 其拉格朗日插值公式的插值余项为：,即，Newton-Cotes公式的值精确地等于定积分的值，故n阶Newton-Cotes公式的代数精度至少是n.,故f (x)=Pn(x), 这是对一切x均相等，精确成立所以，,结论：当n 为奇数时，n阶Newton-Cotes公式的代数精度为n； 当n 为偶数时，n阶Newton-Co

9、tes公式的代数精度为n+1(稍后再证明),2、Cotes系数特点：,即有,由引理知，求积公式至少有n次代数精度,对于1,积分公式总是精确成立,(-1)n+k=(-1)n-k,4.2.3 Newton-Cotes公式的误差分析,1.偶阶求积公式的代数精度,作为插值型的求积公式，n 阶的牛顿-柯特斯公式至少具有n 次的插值精度（定理3.2）。从上面几个特殊的公式可以猜想, n为偶数时, 代数精度还可进一步提高，,先看Simpson公式，它是二阶Newton-Cotes公式, 因此至少具有二次代数精度。进一步用 x3 进行检验。 按Simpson公式计算得：,另一方面，直接求积分得：,易验证S=I, 即Simpson 公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立。,易验证此时SI （ b a 时） 因此Simpson公式实际上具有3次代数精度。,定理 4.3 当阶 n 为偶数时，牛顿-柯特斯公式 至少有 n+1 次代数精度 .,说明：为了既保证精度又节约时间，尽量选用n是偶数的情形。,一般地，可以证明下述定理:,证明 只需验证当n为偶数时,Newton-Cotes公式对f (x)=xn+1的余项为零.,由于f(x)=xn+1,所以f(n+1)(x)=(n+1)! .由式(4.2.7)得,引进变换t=u+n/2,因为n为偶数,故n/2为整数,由上述积分区间是-n/2,n/2,被积函数,于是有,被积函数是个奇函数.,（n+1) 个乘积,(u-j)(u+j)为偶函数， j=0时，u-j 为奇函数。,n = 1:,/* 令 x = a+th, h = ba, 用中值定理 */,代数精度 = 1,由于(x-a)(x-b)在a,b中不变号, 在a,b上连续,根据高等数学中的积分中值定理 ,在a,b上存在一点,使,因此,2. 几种低阶求积公式的余项,(4.2.14),误差估计式为,n = 2:,代数精度 = 3,n = 3: Simpsons 3/8-Ru

《4.2 Newton-Cotes求积公式》由会员金****分享，可在线阅读，更多相关《4.2 Newton-Cotes求积公式》请在金锄头文库上搜索。