广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法
16页1、 . . . . .第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中,我们将发现大量的积分是不能直接计算的,有的积分虽然可以直接计算,但因为过程太复杂,也不为计算工作者采用,对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 对广义积分而言,求其近似值有一个先决条件 积分收敛,否则其结果毫无意义。 因此,判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的定理9.1(Cauchy收敛原理)f(x)在a, + )上的广义积分收敛的充分必要条件是:, 存在A0, 使得b, A时,恒有证明:对使用柯西收敛原理立即得此结论同样对瑕积分(为瑕点), 我们有定理9.2(瑕积分的Cauchy收敛原理)设函数f(x)在a,b)上有定义,在其任何闭子区间a, b上常义可积,则瑕积分收敛的充要条件是: , , 只要01,那么积分收敛,如f(x),p1,则积分发散其极限形式为定理9.9 如 (, p1), 则积分收敛如, 而, 1, 则发散.例9.8 判断下列广义积分的收敛性。(1) (2) (m0, n0)解:(1)因为0由收敛推出收敛(2)因为 所以当nm1时,积分
2、收敛. 当nm1时,积分发散对于瑕积分,使用作为比较标准,我们有下列柯西判别法定理9.10设x=a是f(x)在a,b上的唯一奇点,在其任意闭区间上可积,那么(1) 如0f(x) (c0), p0), p1, 则发散瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为定理9.11 设如0k, p1, 则收敛如0k, p1, 那么发散例9.9 判别下列瑕积分的敛散性。(1) (k20)解:(1)1是被积函数的唯一瑕点因为 =由知瑕积分收敛(2)0与都是被积函数的瑕点先讨论 由知: 当p1时, 瑕积分收敛; 当p1时,瑕积分发散再讨论 因所以当 q1时, 瑕积分收敛,当q1时,瑕积分发散综上所述,当p1且q1时, 瑕积分收敛; 其他情况发散例9.10 求证: 若瑕积分收敛,且当时函数f(x)单调趋向于+,则x f(x)=0.证明:不妨设, f(x)0, 且f(x)在(0, 1)上单调减少。已知收敛,由柯西收敛准则,有, (1), 有从而0或00), 当时收敛当时发散.证明:=所以当31时,即时,瑕积分收敛当31,即时,瑕积分发散前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性,为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行
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