ch5.1.1-5.1.2孤立奇点的分类,零点与极点的关系资料

1、主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 第三十四讲第三十四讲 解析函数的孤立奇点及其分类解析函数的孤立奇点及其分类 作业 作业 P181 1 1 5 7 9 2 6 7 9 2 4 10 11 12 1 3 5 15 1 2 16 17 2 4 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 第三十四讲第三十四讲 解析函数的孤立奇点及其分类解析函数的孤立奇点及其分类 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 孤立奇点孤立奇点 如果函数如果函数f z 在在z0点不解析 但在点不解析 但在z0的某个去的某个去 内处处解析 则称内处处解析 则称z0为为f z 的的 0 0zz 注意 注意 孤立奇点是奇点 但奇点不一定是孤立奇点孤立奇点是奇点 但奇点不一定是孤立奇点 如 如 1 11 z z e e zz 0z 是是的孤立奇点的孤立奇点 如 如 1 1 sin z z 1 1 2 zn n 是奇点 但不是孤立奇点是奇点 但不是孤立奇点 今后 主要研究孤立奇点今后 主要研究孤立奇点 心邻域心邻域 孤立奇点孤立奇点 第三十四讲第三十四讲 解析函数的孤立奇点及其分类解析函数的孤立奇点及其分类 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓

2、若若z0是是f z 的孤立奇点 的孤立奇点 则由洛朗展开定理知 则由洛朗展开定理知 f z 在在z0的的 某个去心邻域可以展成洛朗级数某个去心邻域可以展成洛朗级数 00 10 nn nn nn f zczzczz 负幂项反映了负幂项反映了f z 在在z0点的点的奇异性奇异性 根据根据Laurent级数展开式的系数级数展开式的系数cn的不同情况的不同情况 可以把可以把 f z 的孤立奇点分为三类的孤立奇点分为三类 1 可去奇点 可去奇点 2 极点 极点 3 本性奇点 本性奇点 第三十四讲第三十四讲 解析函数的孤立奇点及其分类解析函数的孤立奇点及其分类 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 1 可去奇点 可去奇点 定义定义5 1 如果如果f z 在在 内的内的 0 0zz 中不含有中不含有 的负幂项的负幂项 即当即当 0 zz 1 2 3 n 则称则称z0是是 f z 的的可去奇点可去奇点 0 n c Laurent级数级数 时 时 0100 n n f zcc zzczz 收敛半径至少为收敛半径至少为 和函数和函数F z 在在z0处解析处解析 0 00 F zzz f z czz 无论无论f

3、 z 在在z0是否有定义 是否有定义 0 0 lim zz f zc 重新定义重新定义f z0 c0 这样 这样 f z 在在z0解析解析 z0称为称为f z 的可去奇点的可去奇点 第三十四讲第三十四讲 解析函数的孤立奇点及其分类解析函数的孤立奇点及其分类 0 zzR 在内 上式成立 可去奇点的判定可去奇点的判定 1 用定义去判定 用定义去判定 如果如果f z 在在z0的洛朗级数无负幂项 则的洛朗级数无负幂项 则z0为为f z 的可去奇点的可去奇点 2 判断极限 判断极限 0 lim zz f z 若若存在 且为有限值存在 且为有限值 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 第三十四讲第三十四讲 解析函数的孤立奇点及其分类解析函数的孤立奇点及其分类 0100 n n f zcc zzczz 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 如果补充定义如果补充定义 24 sin11 1 3 5 z zz z 所以所以z 0是是 z zsin 的可去奇点的可去奇点 例例1 1 因为因为 在在 内的展开式为内的展开式为 sinz z 0z 无负幂项无负幂项 0 sin lim1 z z z 或者或者 sin 0

4、 1 0 z z f zz z 则则f z 在全平面解析在全平面解析 第二十一讲第二十一讲 解析函数的孤立奇点解析函数的孤立奇点 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 2 极点 极点 定义定义5 2 如果如果f z 在在 0 0zz 的的Laurent级数展开级数展开 式中只有有限多个式中只有有限多个z z0负幂项 其中关于负幂项 其中关于 z z0 1最高次最高次 21 02010 m m f zczzczzczz 2 01020 1 0 m cczzczzmc 那么称孤立奇点那么称孤立奇点z0为为f z 的的m级极点级极点 幂为幂为m 即即 第二十一讲第二十一讲 解析函数的孤立奇点解析函数的孤立奇点 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 21 02010 m m f zczzczzczz 2 01020 1 0 m cczzczzmc 0 1 m f zg z zz 2 01020 m mmm f zzzcczzczz 令令 10 n m mmnn g zcczzczz 则则 g z 在在 0 zz 内解析 且内解析 且 0 0 m g zc 即即 0 lim zz f z 即即 0 li

5、m zz f z 如果孤立奇点如果孤立奇点z0为为f z 的的m级极点级极点 第三十四讲第三十四讲 解析函数的孤立奇点及其分类解析函数的孤立奇点及其分类 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 极点的判定极点的判定 1 用定义去判定 用定义去判定 3 判断极限 判断极限 21 02010 m m f zczzczzczz 2 01020 1 0 m cczzczzmc 0 lim zz f z 即即 0 lim zz f z 在点在点 的某去心邻域内有的某去心邻域内有 0 z 其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析 且且 zg 0 z 0 0 zg 2 由等价形式判别由等价形式判别 0 1 m f zzzg zm 第三十四讲第三十四讲 解析函数的孤立奇点及其分类解析函数的孤立奇点及其分类 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 例例2 求函数求函数 23 2 1 1 z f z zz 解解 1zi z 是函数的孤立奇点是函数的孤立奇点 的孤立奇点并判定类型的孤立奇点并判定类型 311 1 2 f zzziziz 所以所以 zi 是是 f z 的的1 1级极点级极点 是是f z 的的3 3级极点级

6、极点 1z 第三十四讲第三十四讲 解析函数的孤立奇点及其分类解析函数的孤立奇点及其分类 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 3 本性奇点 本性奇点 定义定义5 3 如果如果f z 在在 0 0zz 内的内的Laurent级数级数 展开式中含有无穷多个系数非零的展开式中含有无穷多个系数非零的 负幂项负幂项 即即 0 zz 21 02010 m m f zczzczzczz 2 01020 cczzczz 如果如果z0是本性奇点 则是本性奇点 则z0既不是可去奇点 也不是极点 既不是可去奇点 也不是极点 0 0 lim zz c f z 有限数 从而有从而有 第三十四讲第三十四讲 解析函数的孤立奇点及其分类解析函数的孤立奇点及其分类 1 2 1 1 0z 2 n z zz ez n 35 1 1 sin 0 3 5 zz zz z 例例3 z 0 是是 和和 的本性奇点的本性奇点 这是因为这是因为 1 z e 1 sin z 故故z 0是它们的本性奇点是它们的本性奇点 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 第三十四讲第三十四讲 解析函数的孤立奇点及其分类解析函数的孤立奇点及其分类 AB CD 本

7、本性性奇奇点点 一一级级极极点点 可可去去奇奇点点 二二级级极极点点 例例4 z 1 是是 的 的 1 z z e 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 第三十四讲第三十四讲 解析函数的孤立奇点及其分类解析函数的孤立奇点及其分类 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 综上所述综上所述 孤立奇点孤立奇点 可去奇点可去奇点 m级极点级极点 本性奇点本性奇点 Laurent级数的特点级数的特点 lim 0 zf zz 存在且为存在且为 有限值有限值 不存在不存在 且不为且不为 无负幂项无负幂项 含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项 含有有限个负幂项含有有限个负幂项 1 0 zz m zz 0 关于关于的最高幂的最高幂 为为 第三十四讲第三十四讲 解析函数的孤立奇点及其分类解析函数的孤立奇点及其分类 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 1 零点定零点定义 义 不恒等于不恒等于0的解析函数的解析函数f z 如果能表示成如果能表示成 0 m f zzzz z 在在z0解析解析 0 0 zmZ 那么那么z0称为称为f z 的的m级零点级零点 z 0是是 3 1f zz z 的一级零点的一级零点 z 1是是 3 1

8、f zz z 的三级零点的三级零点 第三十五讲第三十五讲 零点与极点的关系零点与极点的关系 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 2 零点的判定 零点的判定 如果如果f z 在在 解析解析 那么 那么 为为f z 的的m级零点的充要条件是级零点的充要条件是 0 z 0 z 00 0 0 1 2 1 0 nm fznmfz 证明证明必要性必要性由题设条件知 由题设条件知 0 m f zzzz 00 0 zzz 在在 解解析析 且且 1 00 mm fzm zzzzzz 1 00 m zzmzzzz 1 01 m zzhz 1010 0 hzzhz 在在 解解析析 且且 1 01 m m fzzzhz 1010 0 mm hzzhz 在在 解解析析 且且 第三十五讲第三十五讲 零点与极点的关系零点与极点的关系 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 1 01 m m fzzzhz 1010 0 mm hzzhz 在在 解解析析 且且 00 0 0 1 2 1 0 nm fznmfz 101 m mm fzhzzzhz 从而有从而有 充分性充分性由同学们自己完成由同学们自己完成 第三十五讲第三十五讲

9、零点与极点的关系零点与极点的关系 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 例例1 z 0是是 的几级零点 的几级零点 1 cosz 解解 0 1 cos0 z z 00 1 cossin0 zz zz 00 1 coscos1 zz zz 01coszz 是是二级零点二级零点 第三十五讲第三十五讲 零点与极点的关系零点与极点的关系 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 3 零点与极点的关系 零点与极点的关系 定理定理5 2 如果如果 是是f z 的的m级极点 那么级极点 那么 就是就是 的的m 0 z 0 z 级零点级零点 反过来也成立反过来也成立 1 f z 证明证明 设设 是是f z 的的m级极点 则由定义知 级极点 则由定义知 0 z 00 0 1 0 m f zzzzz zz 其其中中在在 解解析析 且且 0 11 m zz f zz 由上可知 由上可知 0 0 11 0 z zz 在在 解解析析 且且故故 是是 的的m级零点级零点 0 z 1 f z 第三十五讲第三十五讲 零点与极点的关系零点与极点的关系 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 例例2 有什么奇点 如果是极点 指出它的级有什

10、么奇点 如果是极点 指出它的级 1 sinz 解解 0 1 2 znn 是是 的孤立奇点的孤立奇点 1 sinz sincos z n zn 1 0 n sin0 n 0 1 2 znn 是是 的一级零点 的一级零点 sinz 从而是从而是 的一级极点的一级极点 1 sinz 第三十五讲第三十五讲 零点与极点的关系零点与极点的关系 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 4 推论推论如果如果 是函数是函数P z 的的m级极点 是函数级极点 是函数Q z 0 z 0 z 是是 的的m n级极点 级极点 P z Q z 第三十五讲第三十五讲 零点与极点的关系零点与极点的关系 的的n级极点 级极点 m n 则 则 0 1 m P zg z zz 证明证明 00 0g zzg z 其其中中在在 解解析析 且且 0 1 n Q zh z zz 00 0h zzh z 其其中中在在 解解析析 且且 0 1 m n P zg z Q zh z zz 若若m n 则 则 0 z 是是 的的n m级零点级零点 P z Q z 若若m n 则为可去奇点则为可去奇点 主讲教师 吴慧卓主讲教师 吴慧卓 例例3 问问

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