VAR模型与向量VECM模型资料

1、 向量自回归模型 向量自回归模型 VAR 与向量误差修正模型 与向量误差修正模型 VEC 向量自回归模型 向量自回归模型 VAR p 传统的经济计量学联立方程模型建摸方法 是以经济理论为基础来描述经济变量之间的结构关系 采 用的是结构方法来建立模型 所建立的就是联立方程结构式模型 这种模型其优点是具有明显的经济理论 含义 但是 从计量经济学建摸理论而言 也存在许多弊端而受到质疑 一是在模型建立之处 首先需要明确哪些是内生变量 哪些是外生变量 尽管可以根据研究问题和目 的来确定 但有时也并不容易 二是所设定的模型 每一结构方程都含有内生多个内生变量 当将某一内生变量作为被解释变量出现 在方程左边时 右边将会含有多个其余内生变量 由于它们与扰动项相关 从而使模型参数估计变得十 分复杂 在未估计前 就需要讨论识别性 三是结构式模型不能很好地反映出变量间的动态联系 为了解决这一问题 经过一些现代计量经济学家门的研究 就给出了一种非结构性建立经济变量之间 关系模型的方法 这就是所谓向量自回归模型 Vector Autoregression Model VAR模型最早是1980年 由C A Sim

2、s引入到计量经济学中 它实质上是多元AR模型在经济计量学中的应用 VAR模型不是以经济理论为基础描述经济变量之间的结构关系来建立模型的 它是以数据统计性质为 基础 把某一经济系统中的每一变量作为所有变量的滞后变量的函数来构造模型的 它是一种处理具有相 关关系的多变量的分析和预测 随机扰动对系统的动态冲击的最方便的方法 而且在一定条件下 多元MA 模型 ARMA模型 也可化为VAR模型来处理 这为研究具有相关关系的多变量的分析和预测带来很大方 便 VAR模型的一般形式模型的一般形式 1 非限制性VAR模型 高斯VAR模型 或简化式非限制性VAR模型 设 12 tttkt yyyy 为一k维随机时间序列 p为滞后阶数 12 tttkt uu uu 为一k维随机扰动的 时间序列 且有结构关系 1 1 1 2 2 2 111111221111112122212 11112211 1 1 1 2 2 2211122212121122222 tttkktttkkt ppp tptpkktpt tttkkttt yayayayayayay ayayayu yayayayayay 2 22 21212

3、222 1 1 111 kkt ppp tptpkktpt ktktk ay ayayayu yaya 1 2 2 2 2211112122212 1122 tkkktkttkkt ppp ktpktpkkktpkt yayayayay ayayayu 1 2 tT 15 1 1 若引入矩阵符号 记 1 11 21 2 12 22 12 1 2 iii k iii k i iii kkkk aaa aaa Aip aaa 可写成 1122 tttptpt yA yA yA yu 1 2 tT 15 1 2 进一步 若引入滞后算子L 则又可表示成 1 2 tt A L yutT 15 1 3 其中 2 12 p kp A LIALA LA L 为滞后算子多项式 如果模型满足的条件 参数阵0 0 p Ap 特征方程 2 12 det 0 p kp A LIALA LA L 的根全在单位园外 0 t uiidN 1 2 tT 即 t u 相互独立 同服从以 0 t E u 为期望向量 ov ttt CuE uu 为方差协方差阵的k维正态分布 这时 t u是k维白噪声向量序列 由于 t u没有

4、 结构性经济含义 也被称为冲击向量 0 1 2 ttjttj Cov u xE u xj 即 t u与 t x及各滞后期不相 关 则称上述模型为非限制性VAR模型 高斯VAR模型 或简化式简化式非限制性VAR模型 2 受限制性VAR模型 或简化式简化式受限制性VAR模型 如果将 12 tttkt yyyy 做为一k维内生的随机时间序列 受d维外生的时间序列 12 tttdt xx xx 影响 限制 则VAR模型为 1122 tttptptt yA yA yA yDxu 1 2 tT 15 1 4 或利用滞后算子表示成 1 2 ttt A L yDxutT 15 1 5 其中 11121 21222 12 d d kkkd ddd ddd D ddd 此时称该模型为受限制性VAR模型 简化式简化式受限制性VAR模型 对于受限制性VAR模型 可通过 12 tttkt yyyy 对 12 tttdt xx xx 作OLS回归 得到残差估计 ttt yyy 从而将 t y变换成 15 1 2 或 15 1 3 形式的非限制性VAR模型 即 1122 tttptpt yA yA yA yu 1

5、2 tT 15 1 6 1 2 tt A L yutT 15 1 7 这说明受限制性VAR模型可化为非限制性VAR模型 简化式非限制 受限制简化式非限制 受限制VAR模型 皆简记为模型 皆简记为 VAR p 3 结构式非限制性VAR模型 如果 12 tttkt yyyy 中的每一分量受其它分量当期影响 无d维外生的时间序列 12 tttdt xx xx 影响 限制 则模型化为 01122 tttptpt A yA yA yA yu 1 2 tT 15 1 8 或利用滞后算子表示成 1 2 tt A L yutT 15 1 9 其中 0 0 121 0 0 212 0 0 0 12 1 1 1 k k kk aa aa A aa 这时的 2 012 p p A LAALA LA L 此时称该模型为结构式结构式非限制性VAR模型 如果 0 A可逆 既逆阵 1 0 A 存在 则结构式非限制性VAR模型可化为简化式非限制性VAR模型 1111 01102200 tttptpt yAA yAA yAA yAu 1 2 tT 15 1 10 或利用滞后算子表示成 1 0 1 2 tt A L yA

6、utT 15 1 11 这时 其中的 1121 01020 p p A LIAALAA LAA L 4 结构式受限制性VAR模型 如果将 12 tttkt yyyy 做为一k维内生的随机时间序列 其中每一分量受其它分量当期影响 且还 受d维外生的时间序列 12 tttdt xx xx 影响 限制 则VAR模型为 01122 tttptptt A yA yA yA yDxu 1 2 tT 15 1 12 或利用滞后算子表示成 1 2 ttt A L yDxutT 15 1 13 此时称该模型为结构式受限制性VAR模型 如果 0 A可逆 既逆阵 1 0 A 存在 则结构式受限制性VAR模型可化为简化式受限制性VAR模型 11111 011022000 tttptptt yAA yAA yAA yADxAu 1 2 tT 15 1 14 或利用滞后算子表示成 11 00 1 2 ttt A L yADxAutT 15 1 15 这时 其中的 1121 01020 p p A LIAALAA LAA L 结构式非限制 受限制结构式非限制 受限制VAR模型 皆简记为模型 皆简记为 SVAR p

7、简化式简化式VAR模型的参数估计模型的参数估计 VAR模型参数估计 简化式VAR模型比较简单可采用Yule Walker估计 OLS估计 极大似然估计法等 进行估计 且可获得具有良好统计性质的估计量 结构式VAR模型参数估计比较复杂 可有两种途径 一种 是化成简化式 直接估计简化式模型参数 然后再通过简化式模型参数与结构式模型参数的关系 求得结 构式模型参数估计 但这存在一个问题是否可行 什么情况下可行 这与结构式模型的识别性有关 另一 种途径是直接对结构式模型参数进行估计 但这也存在一个问题 上述方法不可应用 原因是每一方程含 有众多内生的与扰动项相关变量 那么 如何估计 这也与结构式模型的识别性有关 对于简化式VAR模型 15 1 1 15 1 3 在冲击向量满足假设 0 t uiidN 1 2 tT 即 t u 相互独立 同服从以 0 t E u 为期望向量 ov ttt CuE uu 为方差协方差阵的k维正态分 布 这时 t u是k维白噪声向量序列的条件下 模型参数阵 12 p A AA及 也可采用Yule Walker估计 OLS估计 极大似然估计 设 12 tttkt yy

8、yy 1 2 tT 为长度为T的样本向量 Yule Walker估计 在T充分大时 首先估计自协方差阵 1 T htt h t h y yT 15 1 16 令 011 102 120 p p pp 11 2 2 p P A A A A 则可得模型参数阵的Yule Walker估计 矩估计 为 1 1 2 P A A A A 1 011 102 120 p p pp 1 2 p 15 1 17 OLS估计 模型参数阵 12 p A AA的OLS估计 即求使 12 111 1 min ppT ptjtjtjtj jpjj Q A AAyA yyA y T 下的 12 p A AA作为 12 p A AA估计 记 1 T htt h tp y yT 15 1 18 由此可推得 1 1 2 P A A A A 1 011 102 120 p p pp 1 2 p 15 1 19 由此可见 模型参数阵 12 p A AA的OLS估计 15 1 15 与Yule Walker估计 15 1 13 形式相同 但式中的 h 的计算不同 但是 当T充分大时 15 1 16 与 15 1 18 相差很小

9、 这时 15 1 17 与 15 1 19 相差 也很小 这时二者的估计及估计量的性质等价 因此 在T充分大时 可直接采用Yule Walker估计比较简单 方便 而 的估计为 0 1 1 T tt t AAu u T 15 1 20 其中 1122 ttttptp uyA yA yA y 极大似然估计 可证明 模型参数阵 12 p A AA的极大似然估计与OLS估计完全等价 除此之外 还有递推估计法 参见 马树才 经济时序分析 辽宁大学出版社 1997 1 pp199 这里不在赘述 简化式简化式VAR模型的模型的预测预测 在已知 12 tt yy 时 对 t y的一步线性预测 1 1 t y 1122 ttptp AYA yA y 15 1 21 其一步预测误差为 1 1 tttt yyye 一步预测误差的方差阵为 ttt t Ey yEeeS 的估计为 1 0 1 1 p ii i kp SA T 15 1 22 在已知 12 tt yy 时 如果利用模型参数的估计量 12 p A AA 对 t y进行一步线性预测 则 t y的实际一步线性预测为 1 1 t y 1122 ttpt

10、p AYA yA y 15 1 23 其一步预测误差为 1 1 ttt yyy 111222 ttpptpt AA YAA yAAye 一步预测误差的方差阵为 ttt t Ey yEeeD 的估计为 1 0 1 1 1 p ii i kpkp DA TT 15 1 24 VAR模型模型阶数阶数p的确定的确定 VAR模型的定阶是一个矛盾过程 阶数p的确定 既不能太大 又不能太小 必须兼顾 因为 一方 面 希望滞后阶数p要大一些 以便使模型能更好地反映出动态特征 但另一方面 又不希望太大 否则 阶数p太大 会造成需要估计的模型参数过多 而使模型自由度减少 因此 在定阶时需要综合考虑 以 既要有足够大的滞后项 又能有足够大的自由度为原则确定阶数 VAR模型的定阶方法有多种 1 FPE准则 最小最终预测误差准则 FPE准则 最小最终预测误差准则 即利用一步预测误差方差进行定阶 因为 如果模型阶数合适 则 模型对实际数据拟合优度必然会高 其一步预测误差方差也必然会小 反之 则相反 设给定时间序列向量长度为T的样本向量为 12 tttkt yyyy 1 2 tT 则其一步预测误差方差 阵的估计量为

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