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黑龙江省海林市朝鲜族中学高中人教A版数学选修2-1课件：3-1-3空间向量的数量积运算（1）新

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常见问题

1、第三章空间向量与立体几何 3 1空间向量及其运算3 1 3空间向量的数量积运算 1 掌握空间向量夹角的概念及表示方法掌握两个向量的数量积概念性质和计算方法及运算规律 2 掌握两个向量的数量积的主要用途会用它解决立体几何中一些简单的问题 2 两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a和b 它们的夹角为我们把 a b cos 叫做向量a与b的数量积记为a b 即a b a b cos 规定零向量与任何向量的数量积为0 即0 a 0 3 两个向量数量积的性质若a b是非零向量 e是与b方向相同的单位向量是a与e的夹角则 e a a e a cos a b a b 0 若a与b同向则a b a b 若a与b反向则a b a b 4 两个向量数量积的运算律空间向量的数量积满足如下的运算律结合律 a b a b 交换律 a b b a 分配律 a b c a b a c A 4B 3C 2D 1解析正确不正确答案 D 答案 C 3 已知向量a b c两两之间的夹角都为60 其模都为1 则 a b 2c 等于 4 已知i j k是两两垂直的单位向量 a 2i j k b i

2、 j 3k 则a b等于解析 a b 2i j k i j 3k 2i2 j2 3k2 2 答案 2 5 如图2所示在空间四边形OABC中 OA 8 AB 6 AC 4 BC 5 OAC 45 OAB 60 求OA与BC夹角的余弦值典例精析类型一空间向量的数量积运算例1 如图3所示已知正三棱锥A BCD的侧棱长和底面边长都是a 点E F G分别是AB AD DC的中点求下列向量的数量积点评本题主要考查空间向量数量积的定义及其运算要求大家在熟练掌握的基础上能灵活运用迁移体验1已知正四面体O ABC的棱长为1 迁移体验2如图6所示在正方体ABCD A1B1C1D1中求异面直线A1B与AC所成的角类型三利用数量积求距离例3 如图7所示已知矩形ABCD AB 4 BC 3 沿对角线AC把矩形ABCD折成30 的二面角求BD 迁移体验3如图9 在平行四边形ABCD中 AB AC 1 ACD 90 将它沿对角线AC折起使直线AB与CD成60 角求B D间的距离类型四利用数量积证明垂直问题例4 如图10 正方体ABCD A1B1C1D1中 P为DD1的中点 O

3、是底面ABCD的中心求证 B1O 平面PAC 点评用向量解决立体几何中一些简单问题时我们要解决好以下几方面的问题 1 如何把已知几何体转化为向量表示 2 考虑未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示 3 如何对已经表示出来的向量进行计算获得结论迁移体验4已知空间四边形ABCD中 AB CD AC BD 求证 AD BC 思悟升华1 由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量所以空间两个向量的夹角的定义取值范围两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号两个向量的数量积的意义等都与平面向量是相同的 2 在利用空间向量数量积的定义式进行数量积的运算时关键是搞清楚两个向量的夹角在求两个向量的夹角时可用平移向量的方法把其中一个向量平移到与另一个向量的起点相同 3 利用空间向量的数量积可以有效地解决立体几何中的垂直关系的论证夹角与距离的计算利用向量的数量积的几何意义可把立体几何问题转化为向量的计算问题在用空间向量解决立体几何问题时一般可按如下程序进行思考 1 如何把已知的几何条件转化为向量表示要解决的问题需用到哪些向量可用什么向量知识解决 2 考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示 3 如何对已经表示出来的向量进行运算才能获得需要的结论

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