2020版高考理科数学一轮复习全国版通用版: 第3章 第7节 正弦定理和余弦定理
9页1、第七节正弦定理和余弦定理考纲传真(教师用书独具)掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题(对应学生用书第62页)基础知识填充1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R.(R为ABC外接圆半径)abc2bccos A;bca2cacos B;cab2abcos C变形形式(1)a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C;(2)abcsin Asin Bsin C;(3)sin A,sin B,sin Ccos A;cos B;cos C2.在ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aababab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高);(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)知识拓展1在ABC中,ABabsin Asin B2合比定理:2R.3在锐角三角形中AB;若A,则B,C.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)在ABC中,若AB,则必有sin Asin B()(2
2、)在ABC中,若bca,则ABC为锐角三角形()(3)在ABC中,若A60,a4,b4,则B45或135.()(4)在ABC中,.()解析(1)正确ABabsin Asin B(2)错误由cos A0知,A为锐角,但ABC不一定是锐角三角形(3)错误由ba知,BA(4)正确利用a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C,可知结论正确答案(1)(2)(3)(4)2在ABC中,a3,b5,sin A,则sin B()ABC D1B根据,有,得sin B.故选B3(2016全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,c2,cos A,则b()A BC2 D3D由余弦定理得5b42b2,解得b3或b(舍去),故选D4在ABC中,a3,b2,cos C,则ABC的面积为_4cos C,0C,sin C,SABCabsin C324.5(教材改编)在ABC中,acos Abcos B,则这个三角形的形状为_等腰三角形或直角三角形由正弦定理,得sin Acos Asin Bcos B,即sin 2Asin 2B,所以2A2B或2A2B,即AB或AB,所以这个三角形为等腰三
3、角形或直角三角形(对应学生用书第63页)利用正、余弦定理解三角形(2018广州综合测试(二)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos Cbsin Ca.(1)求角B的大小;(2)若BC边上的高等于a,求cos A的值解(1)因为bcos Cbsin Ca,由正弦定理得sin Bcos Csin Bsin Csin A因为ABC,所以sin Bcos Csin Bsin Csin(BC)即sin Bcos Csin Bsin Csin Bcos Ccos Bsin C因为sin C0,所以sin Bcos B因为cos B0,所以tan B1.因为B(0,),所以B.(2)法一:设BC边上的高线为AD,则ADa.因为B,则BDADa,CDa.所以ACa,ABa.由余弦定理得cosBAC.所以cosBAC的值为.法二:设BC边上的高线为AD,则ADa.因为B,则BDADa,CDa.所以ACa,ABa.由正弦定理得,则sinBAC.在ABC中,由ABAC,得CB,所以BAC为钝角所以cosBAC.所以cosBAC的值为.规律方法1.正弦定理是一个连比等式,只要知道其比值或等
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