江苏百校联考2020届高三第三次考试数学试题含附加题与答案

1、江苏百校联考高三年级第三次考试数学试卷考试时间：120分钟 总分：160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1、若，则下图中阴影表示的集合为_.2、已知命题，则是成立的_条件.（从充分不必要、必要不充分、既不充分有不必要、充要条件中选一个填）3、已知是虚数单位，则复数的共轭复数的模为 .4、设向量，若，则实数的值为 .5、函数的单调减区间为 .6、已知双曲线的离心率为，且过点，则双曲线的焦距等于 .7、设变量，满足约束条件，则目标函数的取值范围为 .8、已知函数，则的值为 .9、如图，在正三棱锥中，为棱的中点，若的面积为，则三棱锥的体积为_.10、若将函数图像上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数的图像，则的最小值为_.11、在中，点为边的中点，且满足，则的最小值为_.12、已知函数，若方程有4个不等的实根，则实数的取值集合为_.13、已知数列的各项均为正数，其前项和为满足，设，为数列的前项和，则_.14、设点，为圆上的两点，为坐标原点，点且，则面积的最大值为_.来源:学科网二、解答题：本大题共6小题，共计90分.

2、请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、设的内角，的对边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）已知，求的值.16、如图，在三棱柱中，已知，为棱的中点，且平面与棱柱的下底面交于.（1）求证：平面.（2）求证：.17、如图，某同学在素质教育基地通过自己设计、选料、制作，打磨出了一个作品，作品由三根木棒，组成，三根木棒有相同的端点（粗细忽略不计），且四点在同一平面内，木棒可绕点任意旋转，设的中点为.（1）当时，求的长；（2）当木棒绕点任意旋转时，求的长的范围.18、在直角坐标系中，已知椭圆，若圆的一条切线与椭圆有两个交点，且.（1）求圆的方程；（2）已知椭圆的上顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且，求直线的方程.19、已知函数，.（1）若曲线在处的切线与曲线相切，求的值；（2）当时，函数的图象恒在函数的图象的下方，求的取值范围；（3）若函数恰有2个不相等的零点，求实数的取值范围.20、已知数列，若对任意的，存在正数使得，则称数列具有守恒性质，其中最小的称为数列的守恒数，记为.（1）若数列是等差数列且公差为，前项和记为.证明：数列具有守恒性质，并求出其

3、守恒数。数列是否具有守恒性质？并说明理由.（2）若首项为1且公比不为1的正项等比数列具有守恒性质，且，求公比值的集合.江苏百校联考高三年级第三次考试数学理科附加题21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修42：矩阵与变换已知线性变换是顺时针方向选择90的旋转变换，其对应的矩阵为，线性变换对应的矩阵为，列向量.（1）写出矩阵，；（2）已知，试求的值.B. 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为，（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程和的标准方程；（2）点分别为曲线，上的动点，当长度最小时，试求点的坐标.C. 选修45：不等式选讲设都是正数，求证：.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22、在四棱锥中，平面，是正三角形，.（1）求平面与平面所成的锐二面角的大小；（2）点为线段上的一动点，设异面直线与直线所成角的大小为，当时，试确定点的位置.23、在直角坐

4、标系中,已知抛物线上一点到焦点的距离为6，点为其准线上的任意-一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.（1）求抛物线的方程;（2）当点在轴上时，证明:为等腰直角三角形.（3）证明：为直角三角形.江苏百校联考高三年级第三次考试数学试卷参考答案考试时间：120分钟 总分：160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 2. 必要不充分 3. 4. 1 5. 6. 87. 8. 7 9. 10. 11. 2 12. 13. 14. 1、答案：解：韦恩图表示的是，由，则.2、答案：必要不充分解：由：，解得，所以是成立的必要不充分条件3、答案：解：因为，整理得，则，所以共轭复数的模为.4、答案：1解：因为，所以，解得.5、答案：解：因为，则，令解得，所以函数的单调递减区间为.6、答案：8解：由题意得，又，解得，双曲线的焦距为.7、答案：解：画出可行域，可得答案为.8、答案：7解：，所以.9. 答案：解：由题意得正三棱锥为正四面体，每个面都为等边三角形，可得为等腰三角形且，因为点为中点，设，则正四面体的棱长为，又因为的面积为，则，解得，三棱锥的

5、高求得为，所以三棱锥的体积.10、答案： 解：图像上所有点的横坐标向右平移个单位长度得，则和相同，所以，解得，因为，所以时，的最小值为.11、答案：2解：因为为边，所以，代入得，所以，则，整理得，所以，即，所以（当且仅当时取等，即）12、答案：令，方程，得，.根据的图象得：当时，即，此时符合题意.，解得.的取值集合为.13、答案：当时，得，（舍），由，当时，一得，化简得.又因为数列的各项均为正数，所以，所以数列是首项，公差的等差数列，即，所以，所以.14、答案：设的中点为，则由，得，即，化简得.直线：经过点，所以面积的最大值为.又因为，所以面积的最大值为.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 解：（1）由的面积公式可知，即，所以.又因为，所以.（2）令，则，.由，得，所以，所以，.16. 证明：（1）因为三棱柱，所以平面.又平面与棱柱的下底面交于，平面，所以.又平面，平面，所以平面.（2）连接，.因为，为公共边，所以由两个三角形全等可得，所以.又，为棱的中点，所以.又，所以平面.又平面.所以.17. 解：（1

6、）在中，得.所以的长为.（2）如图，以为轴，为轴建立坐标系，则，设，则.由，得，即.所以的长的范围为.18. 解：（1）设圆的切线为，点，.由方程组，得，得，.因为，所以，即.又因为点，在直线上，所以，即.所以，化简得，所以圆的半径，所以圆的方程为.此时，当切线为时，易证满足.（2）设点，点，由，得.代入椭圆和圆得.解得或者.所以点，.故直线的方程为，.19. 解：（1），函数的导数为，函数在处的切线的斜率为，函数在处的切线的方程为.由函数在处的切线与函数相切，联立，得.所以，得.（2）设函数，所以.当时，函数在上单调递增.由题意，所以.当时，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增.由题意，即.又因为，不成立.综上所述，的取值范围为.（3）.当时，若，单调递增；若，单调递减；若，单调递增.所以的极大值为，所以函数的图象与轴至多有一个交点.当时，若，单调递减；若，单调递增.所以.（）当，即时，函数的图象与轴至多有一个交点.（）当，即时，.令，所以当时，所以，所以存在，.，所以存在，.（）当时，只有一个零点，综上所述，实数的取值范围为.20、解：（1）因为是等差数列且公差为，所以，

7、所以对任意，恒成立，所以数列具有守恒性质，且守恒数.假设数列具有守恒性质，因为，所以存在实数，.若，则当时，矛盾；若，则当时，矛盾.所以数列不具有守恒性质.（2）显然且，因为，所以.因为数列具有守恒性质，所以对任意，存在正数使得，即存在正数，对任，都成立.（i）若，等比数列递增，不妨设，则，即，设，由式中的，任意性可知，数列不递增，所以对任意恒成立.而当，所以不符题意.（ii）若，则数列单调递减，不妨设，则，即，设，由式中的，任意性可知，数列不递减，所以对任意恒成立，所以对任意恒成立，显然，当，时，单调递减，所以当时，取得最大值，所以.又，故，即.综上所述，公比的取值集合为.江苏百校联考高三年级第三次考试数学理科附加题21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修42：矩阵与变换解：（1），.（2）.所以，. B. 选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的标准方程为.（2）点到曲线的距离.当时，即，.此时点的坐标为.所以点的坐标为.C. 选修45：不等式选讲证明：因为，都是正数，所以，所以.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 解：（1）取的中点为，在平面内作，交于点.因为是正三角形，所以.又因为平面，平面，所以.又因为，平面，由平面，所以直线平面.如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，.设平面的法向量，所以，即，取，则，同理得平面的法向量，设平面与平面所成的锐二面角为，则.又因为，所以.所以平面与平面所成的锐二面角的大小为.（2）由点为线段上的一动点，可设，所以，.由异面直线与直线所成角的大小为，得，所以，解得或-2.所以的位置可以是，也可以是.23. 解：（1）根据题意可得，得，所以抛物线的方程为.（2）抛物线：的准线方程为，所以点，由题意知切线的斜率存在且不为0，设为，所以切线方程为.由方程组，得，所以，解得，解得.不妨取，易得为等腰直角三角形.（3）设点，由题意知切线的斜率存在且不为0，设为，所以切线方程为，由方程组，得，此时，所以，即.所以为直角三角形.

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