山东省潍坊市2020届高三2月份模拟数学试题（一）答案

1、 20202020 高考数学模拟试题一高考数学模拟试题一参考答案参考答案 一 选择题 共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 1 4 ACBA 5 8 ADDB 二 多项选择题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 9 AC 10 BC 11 ACD 12 ABC 三 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 9 14 2 2 0 3 y x 或 2 2 0 3 x y 22 1 412 xy 22 3 1 44 xy 15 16 16 1yx 答案不唯一 选 四 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 17 解 1 设数列 n a的首项为 1 a 公差为d 由已知得 1 1 24 61527 ad ad 1 分 解得 1 2 1 a d 3 分 所以 1 11 n aandn 5 分 2 由 1 可得 1 2n n b n b 是首项为 4 公比为2的等比数列 6 分 则 4 1 2 4 21 1 2 n n n T 8 分 由124 m T 得4 21 124 m 9 分 解得5m 10 分 18 解 1 在ABD 中 由余弦定理得 2 4

2、 12 8 3cos16 8 3cosBDAA 2 分 在BCD 中 由余弦定理得 2 448cosBDC 4 分 16 8 3cos8 8cosAC 则 83coscos8 3coscos1ACAC 所以3coscosAC 为定值 1 6 分 2 12 11 2 2 3sin2 3sin 2 2sin2sin 22 SAA SCC 8 分 则 222222 12 12sin4sin1612cos4cosSSACAC 9 分 由 1 知 3cos1 cosAC 代入上式得 2 2222 12 16 12cos43cos124cos8 3cos12SSAAAA 10 分 配方得 2 22 12 3 24 cos14 6 SSA 3 cos 6 A 当时 22 12 SS 取到最大值 14 12 分 19 本小题 14 分 1 证明 因为 PAD是正三角形 O是AD的中点 所以 POAD 1 分 又因为 CD平面PAD PO平面PAD 所以 POCD 3 分 DCDAD CDAD 平面ABCD O z y x E F G P C D BA 所以 PO面ABCD 4 分 2 如图 以O点为原

3、点分别以OA OG OP所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直 角坐标系 则 32 0 0 0 4 0 0 0 2 0 4 2 0 4 2 0 0 2 0 0 0 PGDCBAO 3 0 1 3 2 1 FE 3 2 1 0 2 0 EGEF 设平面EFG的法向量为 zyxm 得 032 02 zyx y 令1 z 则 10 3 m 6 分 又平面ABCD的法向量 1 0 0 n 7 分 设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为 所以 2 1 cos nm nm 所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为 3 8 分 3 假设线段PA上存在点M 使得直线GM与平面EFG所成角为 6 设 1 0 PAPM PAGPPMGPGM 所以 1 32 4 2 GM 10 分 所以 7642 3 cos 6 sin 2 mGM 11 分 整理得0232 2 无解 所以 不存在这样的点M 12 分 20 解 1 由 2 2 1 ypx yx 得 2 2 110 xp x 1 分 设 1122 A x yB xy 则 12 2 1xxp 1 2 1x x 2 分 2222 1212121212 2248

4、ABxxyyxxxxx x 即 2 2 4 148p 解得2p 4 分 所以抛物线C的方程 2 4yx 5 分 2 由 1 得 12 13 2 xx p 3 12y 即AB的中点坐标为 3 2 则AB的中垂线方程为 23yx 即5yx 7 分 设所求圆的圆心坐标为 00 xy 则 00 2 2 00 0 5 1 116 2 yx yx x 解得 0 0 3 2 x y 或 0 0 11 6 x y 10 分 因此所求圆的方程为 22 3216xy 或 22 116144xy 12 分 21 1 由题意 12 0 0 22 xx 使得不等式 12 f xmg x 成立 等价于 1 max2 max f xmg x 1 分 cossin sincos cos 1 sin xxx fxexxxxxexxex 当 0 2 x 时 0fx 故 f x在区间 0 2 上单调递增 所以0 x 时 f x取得最大值 1 即 max 1f x 3 分 又当 0 2 x 时 cos2 x gxxe sin20 x gxxe 所以 gx 在 0 2 上单调递减 所以 0120gxg 故 g x在区间 0 2

5、 上单调递减 因此 0 x 时 max 0 2g xg 5 分 所以12m 则 21m 实数m的取值范围是 21 6 分 2 当1x 时 要证 0f xg x 只要证e cossinsin2e0 xx xxxx 即证 ecos21 sin x xxx 由于cos20 10 xx 只要证 esin 1cos2 x x xx 7 分 下面证明1x 时 不等式 ecos 1sin2 x x xx 成立 令 e 1 1 x h xx x 则 22 e1e e 11 xx x x x h x xx 当 1 0 x 时 0h x h x单调递减 当 0 x 时 0h x h x单调递增 所以当且仅当0 x 时 h x取最小值为 1 9 分 法一 sin cos2 x k x 则cos2sinkxkx 即sincos2xkxk 即 2 2 sin 1 k x k 由三角函数的有界性 2 2 1 1 k k 即11k 所以 max 1k 而 min 01h xh 但当0 x 时 010kh 0 x 时 1h xk 所以 max min esin 1cos2 x x xx 即 esin 1cos2 x

6、x xx 综上所述 当1x 时 0f xg x 成立 12 分 法二 令 sin cos2 x x x 其可看作点 cos sinAxx与点 2 0B 连线的斜率k 所以直线AB的方程为 2yk x 由于点A在圆 22 1xy 上 所以直线AB与圆 22 1xy 相交或相切 当直线AB与圆 22 1xy 相切且切点在第二象限时 直线AB取得斜率k的最大值为1 而当0 x 时 0 010h 0 x 时 1h xk 所以 minmax h xx 即 esin 1cos2 x x xx 综上所述 当1x 时 0f xg x 成立 12 分 法三 令 sin cos2 x x x 则 2 12cos cos2 x x x 当 3 2 4 xkkN 时 x 取得最大值 1 而 min 01h xh 但当0 x 时 0010h 0 x 时 1h xk 所以 minmax h xx 即 esin 1cos2 x x xx 12 分 综上所述 当1x 时 0f xg x 成立 12 分 22 解 1 12 0 04 14 0 12 16 0 28 18 0 3620 0 1022 0 0624 0 0417 40 x 千元 故估计 50 为农民的年平均收入x为 17 40 千元 3 分 2 由题意知 17 40 6 92 XN 10 6827 0 8414 22 P x 所以17 402 6314 77 时 满足题意 即最低年收入大约为 14 77 千元 6 分 由 0 9545 12 14 20 50 9773 2 P xP x 每个农民的年收入不少于 12 14 千元的事件的概率为 0 9773 记 1000 个农民的年收入不少于 12 14 千元的人数为 则 1000 0 9773BPP 其中 于是恰好有 k 个农民的年收入不少于 12 14 千元的事件概率为 3 3 10 10 1 kkk PkCpp 8 分 从而由 1001 1 1 1 Pkkp Pkkp 9 分 得1001kp 而1001978 2773p 10 分 所以 当0978k 时 1 PkPk 当9791000k 时 1 PkPk 由此可知 在所走访的 1000 位农民中 年收入不少于 12 14 千元的人数最有可能是 978 人 12 分

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