2020年广西南宁市高考数学一模试卷（文科）

1、第 1 页 共 14 页 高考数学一模试卷 文科 高考数学一模试卷 文科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 设全集 U R 集合 A x x 1 B x 7 2 3x 5 则 U A B A x 3 x 1 B x x 3 或 x 1 C x x 1 D x x 3 2 已知复数 z 2i 1 则它的共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为 A 1 3 B 1 3 C 1 3 D 1 3 3 在等比数列 an 中 若 a2 3 a5 24 则 a1 A B C D 4 已知 tan sin76 cos46 cos76 sin46 则 sin A B C D 5 如图 长方体 ABCD A1B1C1D1的棱 AB 和 A1D1的中点分别为 E F AB 6 AD 8 AA1 7 则异面直线 EF 与 AA1所成角的正切值为 A B C D 6 已知直线 l 3x 4y 15 0 与圆 C x2 y2 2x 4y 5 r2 0 r 0 相交于 A B 两点 若 AB 6 则圆 C 的标准方程为 A x 1 2 y 2 2 36B x 1 2 y 2

2、 2 25 C x 1 2 y 2 2 16D x 1 2 y 2 2 49 7 已知 P 1 Q 1 分别是函数 f x sin x 0 图 象上相邻的最高点和最低点 则 A B C D 8 元朝著名数学家朱世杰在 四元玉鉴 中有一首诗 我有一壶 酒 携着游春走 遇店添一倍 逢友饮一斗 店友经三处 没了 壶中酒 借问此壶中 当原多少酒 用程序框图表达如图所示 若将 没了壶中酒 改为 剩余原壶中 的酒量 即输出值是 输入值的 则输入的 x 第 2 页 共 14 页 A B C D 9 已知实数 x y 满足 则目标函数 z 4x 3y 的最小值为 A 24B 22C 17D 7 10 已知四棱锥 M ABCD MA 平面 ABCD AB BC BCD BAD 180 MA 2 BC 2 ABM 30 若四面体 MACD 的四个顶点都在同一个球面上 则该球的表面积 为 A 20 B 22 C 40 D 44 11 已知抛物线 y2 2px p 0 的焦点为 F 准线为 l 直线 y k x 交抛物线于 A B 两点 过点 A 作准线 l 的垂线 垂足为 E 若等边 AFE 的面积为 36

3、 则 BEF 的面积为 A 6B 12C 16D 24 12 设 a log23 b log34 c log58 则 A c a bB c b aC a b cD a c b 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 在正方形 ABCD 中 E 为线段 AD 的中点 若 则 14 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 an 2 an 1 an 1 an a1 2 a3 8 则 S4 15 不透明的袋中有 5 个大小相同的球 其中 3 个白球 2 个黑球 从中任意摸取 2 个 球 则摸到同色球的概率为 16 已知函数 f x x a 1 的图象是以点 1 1 为中心的中心对称图形 g x ex ax2 bx 曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线与曲线 y g x 在点 0 g 0 处的切线互相垂直 则 a b 三 解答题 本大题共 7 小题 共 82 0 分 17 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 且 3b2 3c2 4bc 3a2 1 求 sinA 2 若 3csinA asinB ABC 的面积为 求 c 的值 第 3 页 共 1

4、4 页 18 某电子商务平台的管理员随机抽取了 1000 位上网购物者 并对其年龄 在 10 岁到 69 岁之间 进行了调查 统计情况如表所示 年龄 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 人数100150a200b50 已知 30 40 40 50 50 60 三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减 的等比数列 1 求 a b 的值 2 若将年龄在 30 50 内的上网购物者定义为 消费主力军 其他年龄段内 的上网购物者定义为 消费潜力军 现采用分层抽样的方式从参与调查的 1000 位上网购物者中抽取 5 人 再从这 5 人中抽取 2 人 求这 2 人中至少有一人是消费 潜力军的概率 19 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为菱形 ABC 60 PB PC E 为线段 BC 的中点 F 为线段 PC 上的一点 1 证明 平面 PAE 平面 BCP 2 若 AC 交 BD 于点 O PA AB PB 4 CF 3FP 求三 棱锥 F AOE 的体积 20 设 D 是圆 O x2 y2 16 上的任意一点 m 是过点 D 且与 x 轴垂直的

5、直线 E 是直线 m 与 x 轴的交点 点 Q 在直线 m 上 且满足 2 EQ ED 当点 D 在圆 O 上运动 时 记点 Q 的轨迹为曲线 C 1 求曲线 C 的方程 2 已知点 P 2 3 过 F 2 0 的直线 l 交曲线 C 于 A B 两点 交直线 x 8 于点 M 判定直线 PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列 并说明理由 第 4 页 共 14 页 21 已知函数 f x 1 lnx ax2 1 讨论函数 f x 的单调区间 2 证明 xf x ex x ax3 22 在平面直角坐标系 xOy 中 曲线 C 的参数方程为 r 0 为参数 以坐标原点 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 直线 l 的极坐标方程 为 cos 1 0 若直线 l 与曲线 C 相切 1 求曲线 C 的极坐标方程 2 在曲线 C 上任取两点 M N 该两点与原点 O 构成 MON 且满足 MON 求 MON 面积的最大值 23 己知函数 f x ax 1 2x a 的图象如图所示 1 求 a 的值 2 设 g x 的最大值为 t 若正数 m n 满足 m n t 证明 第 5 页 共

6、 14 页 答案和解析答案和解析 1 答案 C 解析 解 B x 3 x 1 A B x x 1 U A B x x 1 故选 C 可解出集合 B 然后进行并集 补集的运算即可 考查描述法的定义 以及并集 补集的运算 2 答案 D 解析 解 z 2i 1 则 在复平面内对应的点的坐标为 1 3 故选 D 利用复数代数形式的乘除运算化简 z 求出 得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数的代数表示法及其几何意义 是基础题 3 答案 C 解析 解 设公比为 q 则 q3 8 则 q 2 则 a1 故选 C 设公比为 q 则 q3 8 则 q 2 即可求出 a1 本题考查了等比数列的性质 是基础题 解题时要认真审题 注意等比数列的性质的合 理运用 4 答案 A 解析 解 由 tan sin76 cos46 cos76 sin46 sin 76 46 sin30 且 0 联立 解得 sin 故选 A 由已知求得 tan 再由同角三角函数基本关系式结合角的范围求解 第 6 页 共 14 页 本题考查三角函数的化简求值 考查同角三角函数基本关系式及两角差的正弦 是基础 题 5 答案 A 解

7、析 分析 本题考查异面直线所成的角 属于基础题 由题意平移 AA1 异面直线 EF 与 AA1所成角为 FEG 或其补角 在 EFG 中可求 解答 解 取 A1B1中点 G 连接 EG FG EG FG 由可得四边形 AEGA1为平行四边形 则 EG AA1 所以异面直线 EF 与 AA1所成角为 FEG 或其补角 因为 EGA1B1 所以 FG平面 所以 由题意可得 所以 故选 A 6 答案 B 解析 分析 化圆的方程为标准方程 求出圆心坐标 利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离 进一步求得半径得答案 本题考查圆的方程的求法 考查直线与圆位置关系的应用 是基础题 解答 解 化圆 C x2 y2 2x 4y 5 r2 0 r 0 为 x 1 2 y 2 2 r2 可得圆心坐标为 1 2 半径为 r 由圆心 1 2 到直线 l 3x 4y 15 0 的距离 d 且 AB 6 得 r2 32 42 25 圆 C 的标准方程为 x 1 2 y 2 2 25 故选 B 7 答案 C 解析 分析 本题重点考查了由 y Asin x 的部分图象确定其解析式 三角函数的图象与性质 等知识 属于中

8、档题 由题意可求 T 利用周期公式可求 将点 P 1 代入 得 sin 3 1 解得 k k Z 结合范围 可求 的值 即可计算得解 解答 解 函数过点 P 1 Q 1 第 7 页 共 14 页 由题意 得 T T 3 f x sin 3x 将点 P 1 代入 得 sin 3 1 3 k k Z 解得 k k Z 3 故选 C 8 答案 C 解析 分析 根据程序框图进行模拟运算即可 本题考查程序框图的知识 考查运算求解能力 利用模拟运算法是解决本题的关键 解答 解 i 1 时 x 2x 1 i 2 时 x 2 2x 1 1 4x 3 i 3 时 x 2 4x 3 1 8x 7 i 4 时 退出循环 此时 8x 7 x 解得 x 故选 C 9 答案 B 解析 解 画出约束条件表示的 平面区域如图所示 由图形知 当目标函数 z 4x 3y 过点 A 时取得 最小值 由 解得 A 4 2 代入计算 z 4 4 3 2 22 所以 z 4x 3y 的最小值为 22 故选 B 画出约束条件表示的平面区域 由图形求出最优解 代入求出目标函数的最小值 本题考查了线性规划的简单应用问题 是基础题 10

9、 答案 C 第 8 页 共 14 页 解析 分析 本题考查球体表面积的计算 解决本题的关键在于确定底面四点共圆 并利用合适的方 法求出外接圆的半径 考查计算能力 属于中等题 先由题中条件得知 A B C D 四点共圆 利用锐角三角函数计算出 AB 再由勾股定 理得出四边形 ABCD 的外接圆直径 AC 再利用公式可得出球的直径 最后利用球体的表面积公式可得出答案 解答 解 由于 BCD BAD 180 则 A B C D 四点共圆 由于 MA 平面 ABCD AB 平面 ABCD 所以 MA AB 在 Rt ABM 中 ABM 30 MA 2 所以 AB BC 所以 四边形 ABCD 的外接圆直径为 因此 四棱锥 M ABCD 的外接球直径为 所以 该球的表面积为 4 R2 2R 2 40 故选 C 11 答案 B 解析 分析 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用 考查转化思想以及计算能力 属于基础 题 通过三角形的面积求出 p 然后联立直线与抛物线方程 转化求解 A B 的横坐标 然 后求解三角形的面积 解答 解 因为 AFE 是等边三角形 所以 k AFE 的边长为 2p 由

10、解得 p 6 抛物线方程为 y2 12x 联立 解得 x2 10 x 9 0 所以 xA 9 xB 1 所以 BF 4 AF 12 故 BEF 的面积为 12 故选 B 12 答案 D 解析 解 又 lg27 lg25 1 lg64 1 log34 log58 82 53 第 9 页 共 14 页 又 log23 log58 log34 a c b 故选 D 可以得出 从而得出 log58 log34 根据即可得出 并能得出 从而得出 log23 log58 log34 这样便可得出 a b c 的 大小关系 考查对数函数的单调性 对数的运算性质 以及对数的换底公式 13 答案 解析 解 如图所示 又 则 1 则 故答案为 利用向量三角形法则 向量共线定理即可得出 本题考查了向量三角形法则 向量共线定理 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 14 答案 26 解析 解 由 an 2 an 1 an 1 an 可得 数列 an 为等差数列 设公差为 d a1 2 a3 8 2 2d 8 解得 d 3 则 S4 4 2 3 26 故答案为 26 由 an 2 an 1 an 1 an 可得

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