10分布参数体系

1、1 1/61 结构动力学结构动力学 教师：刘晶波 助教：宝鑫 清华大学土木工程系 教师：刘晶波 助教：宝鑫 清华大学土木工程系 2016年秋年秋 2/61 结构动力学结构动力学 第6章 分布参数体系第6章 分布参数体系 3/61 本次课主要内容本次课主要内容本次课主要内容本次课主要内容： 振型的正交性 梁的动力反应分析 简支梁在移动荷载作用下的振动 均直梁轴向振动分析 分布参数结构振动分析(动力直接刚度法) 剪切梁振动分析 振型的正交性 梁的动力反应分析 简支梁在移动荷载作用下的振动 均直梁轴向振动分析 分布参数结构振动分析(动力直接刚度法) 剪切梁振动分析 4/61 6.3 振型的正交性 6.3 振型的正交性 2 5/61 6.3 振型的正交性 与多自由度体系相同，分布参数体系的振型也可 以作为坐标变化的基底，以采用振型叠加法进行 体系的动力反应分析，其原因同样是由于分布参 数体系振型的正交性。 本节介绍分布质量和刚度体系自振振型的正交性。 为简便起见，仅考虑单个梁带有简支边界条件、 固支边界条件或自由边界条件。 不考虑梁中或梁端有集中质量以及支承弹簧情 况，对于这些更复杂的情况也可

2、以采用同样的方 法加以分析。 6/61 振型正交性的证明 第n阶振型和频率应满足的控制方程(特征方程)为： 上式的两边同乘任一l 阶振型l(x)后，沿梁长从0到L积分 对等式左边项进行两次分部积分得 对于简支、固支和自由边界条件，相应振型的边界条件为： 得到：(1) 2 ( )( )( )( ) ,1, 2, 3 nnn EI xxm xxn 2 00 ( )( )( )( ) ( )( ) LL lnnln x EI xxdxm xxx dx 0 00 0 ( )( )( ) ( )( )( ) |( )( )( )|( ) ( )( ) L ln L LL lnlnln x EI xxdx x EI xxx EI xxEI xxx dx 2 00 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) LL lnnln EI xxx dxm xxx dx ( )0 ,( )0(0,) ( )0 ,( )0(0,) ( )0 ,( )( )0(0,) xxxxL xxxxL xEI xxxxL 简支： 固支： 自由： 7/61 振型正交性的证明 将n阶振型n(x)乘以第l 阶振型和频率的控制方程

3、 并沿梁长从0到L积分后得到： （2） （1） 式（1）减去式（2）得到： 如果：nl（nl），则： 3, 2, 1, )()( )()( 2 lxxmxxEI lll dxxxxmdxxxxEI L nlnn L l 0 2 0 )()()()()()( dxxxxmdxxxxEI L nlln L l 0 2 0 )()()()()()( 22 0 ()( ) ( )( )0 L nlln m xxx dx nldxxxxm L nl 0)()()( 0 nldxxxxEI L nl 0)()()( 0 8/61 6.3 振型的正交性 振型的正交条件：振型的正交条件：振型的正交条件： 对任意两阶自振频率不相等的振型，在积分的意义 下关于分布质量 振型的正交条件： 对任意两阶自振频率不相等的振型，在积分的意义 下关于分布质量m(x)和抗弯刚度和抗弯刚度EI(x)都是正交的。都是正交的。 nldxxxxm L nl 0)()()( 0 nldxxxxEI L nl 0)()()( 0 nldxxxEIx n L l 0 )()()( 0 3 9/61 6.4 梁的动力反应分析 6.4

4、梁的动力反应分析 10/61 6.4 梁的动力反应分析 无阻尼强迫振动的振型叠加法 采用振型叠加法求梁的动力反应问题，先将梁的位移 u(x,t)用振型展开： 在给定外荷载p(x,t)作用下，梁的无阻尼振动方程为： 将用振型展开的位移u(x,t)代入梁的偏微分运动方程可得： ),()()( 2 2 2 2 2 2 txp x u xEI xt u xm )()(),(tqxtxu l l l l ll l ll txptqxxEItqxxm),()( )()()()()( 11/61 无阻尼强迫振动的振型叠加法 将上式以振型坐标ql表示的运动方程两边同时乘以n阶振 型n(x)，然后沿整个梁长积分： l ll l ll txptqxxEItqxxm),()( )()()()()( 000 ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( , ) LLL lnllnln ll q tm xxx dxq tx EI xxdxx p x t dx 2 000 ( )( )( )( )( )( )( )( ) ( , ) 1, 2,3, LLL nnnnnn q tm xxdxq t

5、x EI xxdxx p x t dx n , 3, 2, 1),()()(ntptqKtqM nnnnn 12/61 2 0 0 0 ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( , ) L nn L nnn L nn Mm xxdx Kx EI xxdx p tx p x t dx , 3, 2, 1),()()(ntptqKtqM nnnnn 2 0 ( )( ) L nn KEI xxdx 无阻尼强迫振动的振型叠加法 n阶振型坐标qn(t)的运动方程为 其中： 振型质量 振型刚度 振型外荷载 当梁的边界为铰支、固支或自由，则振型刚度为： 4 13/61 无阻尼强迫振动的振型叠加法 振型质量Mn和振型刚度Kn之间的关系 振型和频率满足的控制方程为： 乘以振型n(x)再沿梁长积分可以得到以下关系： dxxxEIxK dxxxmM L nnn L nn 0 0 2 )()()( )()( 2 ( )( )( )( ) nnn m xxEI xx 2 nnn KM 与单自由度和 多自由度体系 的公式形式完 全相同。 14/61 无阻尼强迫振动的振型叠加法 上式与单自由度的运动方程

6、完全一样，给出了求n阶 振型坐标qn(t)的运动方程。通过振型展开，把求解以 u(x,t)作为未知量的偏微分运动方程偏微分运动方程，化为以振型坐标 qn(t)为未知量的一系列常微分方程一系列常微分方程。 这样在动力荷载p(x,t)作用下梁的动力反应u(x,t)可以通 过求解关于振型坐标qn(t)的运动方程来确定。 各个振型运动方程是彼此独立的，可以像单自由度体 系一样求解，可以根据振型荷载的类型，采用相应的 方法，例如动力放大系数方法、Duhamel积分法、 Fourier变换法或时域逐步积分法求解。 , 3, 2, 1),()()(ntptqKtqM nnnnn 15/61 无阻尼强迫振动的振型叠加法 当求得各振型坐标qn(t)后，可得n阶振型反应 un(x,t)称为n阶振型反应，是n阶振型n(x)对总反应u(x,t) 的贡献。 总的位移反应u(x,t)可以通过叠加所有的振型反应求得： 在梁中任意位置处，截面的弯矩和剪力可以通过以下两 式求得： 以上给出无阻尼强迫振动时的振型叠加法计算公式 )()(),(tqxtxu nnn )()(),(),( 11 tqxtxutxu nn nn

7、n 1 1 )()()(),( )()()(),( n nn n nn tqxxEItxV tqxxEItxM 16/61 6.4 梁的动力反应分析 有阻尼强迫振动的振型叠加法 如果是经典阻尼，把振型运动方程改写为有阻尼的形式 振型阻尼系数Cn用振型阻尼比n表示 则有阻尼振型运动方程为 这是标准的有阻尼单自由度体系运动方程。 求得qn(t)后，同样可以求u(x,t)、M(x,t)和V(x,t)等。 )()()()(tptqKtqCtqM nnnnnnn nnnn MC2 n n nnnnnn M tp tqtqtq )( )()(2)( 2 5 17/61 6.4 梁的动力反应分析 算例1 如图所示一均匀简支梁，在距端点处作用一随时间 阶梯变化的集中荷载p(t)，试推导简支梁动力反应的 位移和弯矩表达式，并给出外荷载作用于梁中部时 的结果。 18/61 6.4 梁的动力反应分析算例1 1、简支梁模态分析简支梁模态分析 首先进行模态分析，得到简支梁的自振频率和振型如下： 22 2 ( )sin 1, 2, n n nEI Lm n x x L n 19/61 6.4 梁的动力反应分析算例

8、1 2、建立振型坐标的方程建立振型坐标的方程 振型质量： 振型刚度： 振型荷载： 由此得到n阶振型坐标的运动方程： 2 sin)()( 0 2 0 2 mL dx L xn mdxxxmM LL nn 44 42 3 00 ( )( ) ( )()sin 2 LL nnn nn xnEI Kx EI xxdxEIdx LLL )()()()( 0 0 0 n L nn pdxxxptp )()()()( 0 n nnnnn ptptqKtqM L xn x n sin)( 20/61 6.4 梁的动力反应分析算例1 3、计算振型反应计算振型反应 振型坐标qn(t)是一个单自由度体系在突加外力p0n()作 用下的反应，由单自由度中给出的解法可以容易求解。 设初始条件为零，则方程的解为： 3 44 2L EIn Kn )()()()( 0 n nnnnn ptptqKtqM )cos1 ( )(2 )cos1 ( )( )( 44 3 00 t nEI Lp t K p tq n n n n n n 6 21/61 6.4 梁的动力反应分析算例1 4、梁的动力反应梁的动力反应 梁的位移： 梁中弯矩： )cos1 ( )(2 )( 44 3 0 t nEI Lp tq n n n L xn x n sin)( L xn t nEI Lp tqxtxu n n n n n n sin)cos1 ( )(2 )()(),( 1 44 3 0 1 L xn t n Lp xtqEItxuEItxM n n n n nn sin)cos1 ( )(2 )()(),(),( 1 22 0 1 22/61 6.4 梁的动力反应分析算例1 5、荷载作用点荷载作用点=

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