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第三节函数的极限

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1、第三节函数的极限本节内容提要：一、当时，函数的极限二、当时函数的极限三、再讨论函数的极限四、当时,f(x)的左极限与右极限五、函数极限的性质编辑ppt本节重点：函数极限的概念，函数的极限的计算.本节难点：函数极限的概念。教学方法：启发式教学手段：多媒体与面授教学时数：2学时返回编辑ppt一、当时，函数的极限考察时，函数的变化趋势，由图1-17可以看出，y10图1-17当x的绝对值无限增大时，的值无限接近于零，即当时，f(x)01.函数极限的一般定义定义：如果当x绝对值无限增大即时，对应的函数值无限趋近于一个确定的常数，那么称函数当.时以A为极限，记作：编辑ppt或根据上述定义函数极限的定义定义:设函数f(x)在x|M处有定义，如果对于任意给定的正数无论它多么小，总存在正数，使得适合不等式x|Z的所有X对应的函数值f(x)都满足或注注：的的几几何何意意义义是是：做做直直线线y=A和和y=A-,那那么么总总有有一一个个正正数数存存在在，使使当当XZ时时，函函数数y=f(x)的图形位于这两条平等直线之间图的图形位于这两条平等直线之间图1-18编辑pptyA+A A y=f(x)y=f(

2、x)A-z0zx图1-17定义中，自变量x的绝对值无限增大指的是x取正值而无限增大记为x+,同时也取负值而绝对值无限增大记作X-，但有时x的变化趋向只能或只需取这两种变化中的一种情形.编辑ppt定义：如果当x+(或X-)时，函数无限接近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数当x+或X-时的极限，记作：或例如：yox图1-18及两个极限值相等，因此如图编辑ppt又如：及yy=arctanxox（图1-19）所以不存在图1-19由此得出由此得出：如果和都存在并且相等，那么也存在并且与它们相等。如果和都存在但不相等，那么不存在.编辑ppt例例1求和解：如图1-20所示例2讨论当时，函数的极限。解：因为和都存在，但不相等，所以不存在yy=e-xy=exX0图1-20返回编辑ppt二、当时函数的极限例考察当时函数的变化解函数在有定义设从的左侧无限接近于，即取值及对应的函数如下表2.92.992.9993.0013.013.12.972.9972.99973.00033.0033.03可以看出，当x越来越接近于3时，的值无限接近于3y3x3xX图1-21编辑ppt例3考察当时，函数的变化趋势。解

3、函数在内有定义。设x从1的左、右两侧无限接近于1时，对应的函数如表1-3X0.90.990.999 1 1.0011.011.11.91.991.999 2 2.0012.012.1可以看出，当越来越接近于1时的值无限接近于2(图1-22).编辑ppt0123图1-2221定义设函数(x)在点的某一空心邻域内有定义，如果当X无限接近于但不等于时(x)无限趋近于某个确定的常数A，称当X趋近于时函数以A为极限，记作或由此可知返编辑ppt三，再讨论函数的极限1.定义：设函数在X的某一邻域内有定义在可以没有定义，假设对任一存在使得当时，有那么称函数当时以A为极限。例5证明证明对任意给定的存在那么当时编辑ppt所以例6证明C为常数证对任意给定的存在当时有所以编辑ppt例7证明证对任意给定的存在当时有所以2.函数当时极限为A的极限的几何解释由二直线与为边界所构成的宽为的带形区域，不管怎样狭窄，总存在以为中心，以为半径邻域，当x落在此邻域内时相应的函数图形都落这个带形区域内如图1-23.编辑pptyA+AA-0 x0-x0 x0+x图1-23返回编辑ppt四、当时,的左极限与右极限定义如果当时，函数无限趋近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数当时的左极限，记作或定义如果当时，函数无限趋近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数当时的左极限，记作或由图1-21函数当左极限为编辑ppt右极限为即注：函数当时极限存在的充分必要条件是左极限和右极限各自存在且相等，即当都存在，但不相等，或者至少一个不存在时在X0处极限不存在.编辑ppt例设函数证明：当X0时，F的极限不存在证明由图24可知，因为FF，所以不存在编辑ppt例，设函数求，并由此判断极限是否存在。解：即f(1+0)=f(1-0)=2由函数f(x)在处极限存在的充要条件知，返回编辑ppt五，函数极限的性质性质1如果(或)存在，那么极限是惟一的性质2如果或，那么存在一个正数M，使得函数在点X0可以不包括X0的某一领域内或存在一个正数N，当|X|N时总有|f(x)|M性质3如果且A0,(或A0或fX0假设在X0的某邻域内有f(x)0(或f(x)0)，且有f(x)0(或f(x)0)，且那么A0或A0编辑ppt小结,极限的两种定义，时，的极限会求时的极限函数极限的性质完编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt

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