概率论完整第5讲

1、 在学习几何和代数时，我们已经知道在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的根底公理是数学体系的根底.数学上所说的数学上所说的“公公理，就是一些不加证明而公认的前提，理，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为根底，推演出所讨论对象的进然后以此为根底，推演出所讨论对象的进一步的内容一步的内容.即通过规定概率应具备的即通过规定概率应具备的根本性质来定义概率根本性质来定义概率.下面介绍用公理给出的概率定义下面介绍用公理给出的概率定义.1933年，前苏联数学家柯年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的尔莫哥洛夫给出了概率的公理公理化定义化定义.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，极为简单，但在此根底上建立起了概率论但在此根底上建立起了概率论的宏伟大厦的宏伟大厦.概率的公理化定义概率的公理化定义公理公理2 P(S)=1 (2)公理公理3 若事件若事件A1,A2,两两互不相容，则有两两互不相容，则有 (3)这里事件个数可以是有限或无限的这里事件个数可以是有限或无限的.公理公理1 0 P(A)1 (1)设设E是随机试验，是随机试验，S是它的样本空间，对是

2、它的样本空间，对于于S中的每一个事件中的每一个事件A，赋予一个实数，记为，赋予一个实数，记为P(A)，称为事件，称为事件A的概率，如果集合函数的概率，如果集合函数 P()满足下述三条公理满足下述三条公理:公理公理2 P(S)=1 (2)公理公理3 若事件若事件A1,A2,两两互不相容，则有两两互不相容，则有 (3)这里事件个数可以是有限或无限的这里事件个数可以是有限或无限的.公理公理 1 0 P(A)1 (1)公理公理1说明，任一事件的概率介于说明，任一事件的概率介于0与与1之间；之间；公理公理2说明，必然事件的概率为说明，必然事件的概率为1；公理公理3说明，对于任何互不相容互斥的说明，对于任何互不相容互斥的事件序列，这些事件至少有一个发生的概事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和率正好等于它们各自概率之和.由概率的三条公理，我们可以推导由概率的三条公理，我们可以推导出概率的假设干性质出概率的假设干性质.下面我们就来给下面我们就来给出出概率的一些简单性质概率的一些简单性质.在说明这些性质时，为了便于理解，在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于我们常常借助

3、于文氏图文氏图.文氏图文氏图设边长为设边长为1个单位个单位的正方形的的正方形的面积表示样本空间面积表示样本空间S其中封闭曲线其中封闭曲线围成的一切点围成的一切点的集合表示事件的集合表示事件 A把图形的把图形的面积理解面积理解为相应事为相应事件的概率件的概率因为因为1=P(S)=P(A)+P()性质性质1对任一事件对任一事件A，有，有 (4)性质性质1在概率的计算上很有用，如果正在概率的计算上很有用，如果正面计算事件面计算事件A的概率不容易，而计算其对的概率不容易，而计算其对立事件立事件 的概率较易时，可以先计算的概率较易时，可以先计算 ，再计算，再计算P(A).性质性质1对任一事件对任一事件A，有，有 (4)例例1 将一颗骰子抛掷将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次次，问至少出一次“6点的概率是多少？点的概率是多少？令令 事件事件A=至少出一次至少出一次“6点点A发生发生出出1次次“6点点 出出2次次“6”点点出出3次次“6点点 出出4次次“6”点点直接计算直接计算A的概率较麻烦的概率较麻烦,我们先来计算我们先来计算A的的对立事件对立事件=4次抛掷中都未出次抛掷中都未出“6”点点的概率的概

4、率.于是于是 =0.518 因此因此 =0.482由于将一颗骰子抛掷由于将一颗骰子抛掷4次次,共有共有 =1296种等可能结果种等可能结果,而导致事件而导致事件 =4次抛掷中都未出次抛掷中都未出“6”点点的结果数有的结果数有 =625种种 例例2 有有r 个人，设每个人的生日是个人，设每个人的生日是365天的天的任何一天是等可能的，试求事件任何一天是等可能的，试求事件“至少有两至少有两人同生日的概率人同生日的概率.为求为求P(A),先求先求P()解：令解：令 A=至少有两人同生日至少有两人同生日 =r 个人的生日都不同个人的生日都不同则则用上面的公式可以计算此事出现的概率为用上面的公式可以计算此事出现的概率为 =1-0.524=0.476 美美国国数数学学家家伯伯格格米米尼尼曾曾经经做做过过一一个个别别开开生生面面的的实实验验，在在一一个个盛盛况况空空前前、人人山山人人海海的的世世界界杯杯足足球球赛赛赛赛场场上上，他他随随机机地地在在某某号号看看台台上上召召唤唤了了22个个球球迷迷，请请他他们们分分别别写写下下自自己己的的生生日日，结结果果竟竟发现其中有两人同生日发现其中有两人同生日.

5、即即22个球迷中至少有两人同生日的概率个球迷中至少有两人同生日的概率为为0.476.这这个个概概率率不不算算小小，因因此此它它的的出出现现不不值值得得奇奇怪怪.计计算算后后发发现现，这这个个概概率率随随着着球球迷迷人人数数的的增增加加而而迅迅速速地地增增加加，如如下下页页表所示：表所示：表表 3.1 人数人数 至少有两人同至少有两人同 生日的概率生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 所有这些概率都是在假定所有这些概率都是在假定一个人的生日在一个人的生日在 365天的任天的任何一天是等可能的前提下计何一天是等可能的前提下计算出来的算出来的.实际上实际上,这个假定这个假定并不完全成立，有关的实际并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大概率比表中给出的还要大.当人数超过当人数超过23时，打赌说至时，打赌说至少有两人同生日是有利的少有两人同生日是有利的.请看演示：请看演示：性质性质2 (5)即不可能事件的概率为即不可能事件的概率为0.令令 再利用性质再利用性质1及公理及公理2即得即得.移项得移项得(6),便得便得(7).再由再由由可加性由可加性 性质性质3 设设、B是两个事件，若是两个事件，若 ,则则 有有 (6)(7)又因又因再由性质再由性质 3便得便得(8).性质性质4对任意两个事件对任意两个事件A、B，有，有 (8)它给出了概率所必须满足的最根本的它给出了概率所必须满足的最根本的性质，为建立严格的概率理论提供了一个性质，为建立严格的概率理论提供了一个坚实的根底坚实的根底.下一讲，我们将重点介绍加法公式下一讲，我们将重点介绍加法公式及其应用及其应用.这一讲，我们介绍了这一讲，我们介绍了概率的公理化定义概率的公理化定义 由概率所必须满足的三条公理，我们由概率所必须满足的三条公理，我们推导出概率的其它几条重要性质推导出概率的其它几条重要性质.它们在它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式计算概率时很有用，尤其是加法公式.

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