概率论与数理统计浙大四版 第一章 第一章2讲

1、第二讲随机事件及其概率 上一讲中，我们了解到，上一讲中，我们了解到，随机现随机现象有其偶然性的一面，也有其必然象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性律性，称为随机现象的统计规律性.而概率论正是研究随机现象统计规而概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科律性的一门学科.现在，就让我们一起，步入这充满随机现在，就让我们一起，步入这充满随机性的世界，开始第一步的探索和研究性的世界，开始第一步的探索和研究.从观察试验开始从观察试验开始 研究随机现象，首先要对研究对研究随机现象，首先要对研究对象进行观察试验象进行观察试验.这里的试验，指的这里的试验，指的是随机试验是随机试验.1.可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现.在概率论中在

2、概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为随机试验为随机试验.定义定义随机试验：随机试验：H 例如例如,掷硬币试验掷硬币试验掷一枚硬币，观察出正还是反掷一枚硬币，观察出正还是反.T掷骰子试验掷骰子试验掷一颗骰子，观察出现的点数掷一颗骰子，观察出现的点数 寿命试验寿命试验 测试在同一工艺条件下生产测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命出的灯泡的寿命.随机事件随机事件(RandomEvents)：在一次试验中可能发生也可能不发在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件生的事件称为随机事件，简称事件.在随机试验中，我们往往会关心某个在随机试验中，我们往往会关心某个或某些结果是否会出现或某些结果是否会出现.这就是这就是例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，“掷出1点“掷出2点事件事件根本领件根本领件复合事件复合事件相对于观察目相对于观察目的的不不 可再分解的事可再分解的事件件两个或一些根本领件并在一两个或一些根本领件并在一起，就起，就 构成一个复合事件构成一个复合事件事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点如在掷骰子试验中，如在掷骰子试验中，观察掷出的点

3、数观察掷出的点数.事件事件 Ai=掷出掷出i点点 i=1,2,3,4,5,6两个特殊的事件：两个特殊的事件：必件然事例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于掷出点数小于7是必然事件是必然事件;即在试验中必定发生的事件，常用即在试验中必定发生的事件，常用S或或表示表示;不件可事能即在一次试验中不可能发生的事件，即在一次试验中不可能发生的事件，常用常用表示表示.而而“掷出点数掷出点数8那么是不可能事件那么是不可能事件.下面我们来为随机试验建立一个下面我们来为随机试验建立一个数学模型数学模型我们注意到我们注意到试验是在一定条件下进行的试验是在一定条件下进行的试验有一个需要观察的目的试验有一个需要观察的目的根据这个目的根据这个目的,试验被观察到多个不同的结果试验被观察到多个不同的结果.试验的全部可能结果，是在试验前就明试验的全部可能结果，是在试验前就明确的；或者虽不能确切知道试验的全部可能确的；或者虽不能确切知道试验的全部可能结果，但可知道它不超过某个范围结果，但可知道它不超过某个范围.而且，而且，每次试验的结果事先不可预言每次试验的结果事先不可预言.现代集合论为表述随机试验

4、提供了一个现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具方便的工具.样本空间样本空间(the sample space)与事件与事件 我们把随机试验的每个根本结果称为我们把随机试验的每个根本结果称为样本点，记作样本点，记作e 或或.全体样本点的集合称为全体样本点的集合称为样本空间样本空间.样本空间用样本空间用S或或表示表示.样本点样本点e.S 如果试验是将一枚硬币抛掷两次，如果试验是将一枚硬币抛掷两次，那么样本空间由如下四个样本点组成：那么样本空间由如下四个样本点组成：S=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):其中其中 样本空间在如下样本空间在如下意义上提供了一个理意义上提供了一个理想试验的模型：想试验的模型：在每次试验中在每次试验中必必有有一个样本点出现一个样本点出现且仅有且仅有一个样本点一个样本点出现出现.如果试验是如果试验是测试某灯泡的寿命测试某灯泡的寿命：那么样本点是一非负数，由于不能确知那么样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都寿命的上界，所以可以认为任一非

5、负实数都是一个可能结果，是一个可能结果，S=t：t 0故样本空间故样本空间 调查城市居民以户为单位烟、调查城市居民以户为单位烟、酒的年支出，结果可以用酒的年支出，结果可以用x，y表示，表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数分别是烟、酒年支出的元数.也可以按某种标准把支出分为高、也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档中、低三档.这时，样本点有高这时，样本点有高,高高,高高,中，中，(低低,低等低等9种，样本空种，样本空间就由这间就由这9个样本点构成个样本点构成.这时，样本空间由坐标平这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内面第一象限内一定区域内一切点构成一切点构成.引入样本空间后，事件便可以表示为引入样本空间后，事件便可以表示为样本空间的子集样本空间的子集.例如，掷一颗骰子，观察出现的点数例如，掷一颗骰子，观察出现的点数S=i：i=1,2,3,4,5,6样本空间：样本空间：事件事件B就是就是S的一个子集的一个子集B=1,3,5B发生当且仅当发生当且仅当B中的样本点中的样本点1，3，5中的某一个出现中的某一个出现.答案答案写出以下随机试验的样本空间写出以下随机试验的样本空间.1.同时掷

6、三颗骰子同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和记录三颗骰子之和.2.生产产品直到得到生产产品直到得到10件正品件正品,记录生产产品记录生产产品 的总件数的总件数.课堂练习课堂练习事件之间的关系与运算1、称事件A包含于事件B指A发生那么B必然发生A=BA、B互为包含 BA 我中奖了！我中奖了！我们公司有人中奖了！其他如积事件，和事件，差事件，对立事其他如积事件，和事件，差事件，对立事件等以及事件之间的关系与集合类似，请件等以及事件之间的关系与集合类似，请大家自己看课本。大家自己看课本。ABBAAB对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别SSABABA、B 对立对立A、B 互斥互斥互互 斥斥对对 立立例例1 设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件,试将下列事件试将下列事件用用A,B,C 表示出来表示出来.(1)A 出现出现,B,C 不出现不出现;(5)三个事件都不出现三个事件都不出现;(2)A,B都出现都出现,C 不出现不出现;(3)三个事件都出现三个事件都出现;(4)三个事件至少有一个出现三个事件至少有一个出现;(6)不多于一个事件出现不多于一个事件出现;(7)不多于两个事件

7、出现不多于两个事件出现;(8)三个事件至少有两个出现三个事件至少有两个出现;(9)A,B 至少有一个出现至少有一个出现,C 不出现不出现;(10)A,B,C 中恰好有两个出现中恰好有两个出现.解解欧氏几何以及以此为背景的传统数学所研究的图形或空间形式都是足够正那么足够光滑的，然而自然界的真实形态并非如此光滑规那么。充满空隙的宇宙空间，起伏不平的地形地貌，九曲回肠的河流，曲曲弯弯的海岸线，纵横交错的大地褶皱，断层裂缝，生物体的形态与结构，静电传输误差股票市场的波动，它们不是欧氏几何意义下的光滑规那么形体。根据研究问题的需要光滑规那么的形态不仅不能较好地近似它们，有的甚至连一级近似也做不出来。Koch曲线与分形几何首先画一个线段，然后把它平分成三段，去掉中间那一段并用两条等长的线段代替。这样，原来的一条线段就变成了四条小的线段。用相同的方法把每一条小的线段的中间三分之一替换为等边三角形的两边，得到了16条更小的线段。然后继续对16条线段进行相同的操作，并无限地迭代下去。当把三条这样的曲线头尾相接组成一个封闭图形时，有趣的事情发生了。这个雪花一样的图形有着无限长的边界，但是它的总面积却是有限

8、的。换句话说，无限长的曲线围住了一块有限的面积。这个神奇的雪花图形叫做Koch雪花，其中那条无限长的曲线就叫做Koch曲线。他是由瑞典数学家HelgevonKoch最先提出来的。1.26维分形这一课题提出的时间比较晚。Koch曲线于1904年提出，是最早提出的分形图形之一。我们仔细观察一下这条特别的曲线。它有一个很强的特点：你可以把它分成假设干局部，每一个局部都和原来一样只是大小不同。这样的图形叫做“自相似图形(self-similar)，它是分形图形(fractal)最主要的特征。自相似往往都和递归、无穷之类的东西联系在一起。一条Koch曲线中包含有无数大小不同的Koch曲线。你可以对这条曲线的尖端局部不断放大，但你所看到的始终和最开始一样。它的复杂性不随尺度减小而消失。另外值得一提的是，这条曲线是一条连续的，但处处不光滑不可微的曲线。曲线上的任何一个点都是尖点。美国物理学家惠勒J.A.Wheeler说:明天谁不熟悉分形谁就不能被认为是科学上的文化人.分形理论的应用领域众多且很多领域的研究成果异常丰富,涉及自然科学及社会科学各领域。神奇的无8数:1234567912345679与9,18,27,36,45,54,64,72,81相乘得111111111,.999999999.与10,19,28,37,46,55,64,73相乘,积会让1,2,3,4,5,6,7,9八个数字轮流作首位.即123456790,234567901,901234567.你还能发现它的其他特点吗？

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