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高一上期期末数学专题复习(二)恒成立问题

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常见问题

1、高一上学期期末数学专题复习（二）恒成立问题、(1) 若关于的不等式的解集为空集，求实数的取值范围；(2) 若关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围。(3) 若函数在R上恒成立，求m的取值范围。(4) k为何值时，不等式06对任意实数x恒成立？(5) 已知抛物线yf(x)ax2bxc过点(1，0)，问是否存在常数a、b、c使不等式xf(x)对一切实数x恒成立？、(1) 若对任意的x1，1，不等式恒成立，求的取值范围。(2) 关于的不等式在上恒成立，求的取值范围。(3) 已知关于的不等式|x1|x2|2m1的解集为A 若AR，求实数m的取值范围；若A，求实数m的取值范围；若不等式有解，求实数m的取值范围。(4) 设x、yR+，不等式恒成立，求的取值范围。、(1) 对于满足|a|2的实数a,求使不等式x2+ax+12a+x恒成立的x的取值范围。（2）已知g(x)3x2ax3a5，对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围。、已知函数是定义在上的奇函数，若，,有，（1）证明在上的单调性；（2）若对所有恒成立，求的取值范围。、已知函数，常数，求：（1）函数的定义域；（2）当满足什么条件时在区间

2、（1，）上恒取正？、设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且其中A,B为常数.（1）求A与B的值；（2）证明数列an为等差数列；（3）证明不等式对任何正整数m、n都成立.高一上学期期末数学专题复习（二）恒成立问题、(1)若关于的不等式的解集为R，求实数的取值范围；(2)若关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围。解：(1)设.则关于的不等式的解R在R上恒成立,即解得：-4a2a+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题。解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1（关于a的一次函数）,则f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得： x3.、已知函数g(x)3x2ax3a5，对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；解法1.由题意，这一问表面上是一个给出参数的范围，解不等式的问题，实际上，把以为变量的函数，改为以为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即令

3、，则对，恒有，即，从而转化为对，恒成立，又由是的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此只需即解得.故时，对满足的一切的值，都有.解法2.考虑不等式.由知,于是,不等式的解为 .但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑的条件,还应进一步完善.为此,设.不等式化为恒成立,即.由于在上是增函数,则,在上是减函数,则所以, .故时，对满足的一切的值，都有.、设,二次函数若的解集为A，x|1x3，AB，求实数的取值范围.解法一：由题设,. 的两个根为显然,. (1) 当时, (2) 当时, , .于是,实数的取值范围是.解法二:(1) 当时,因为的图象的对称轴，则对，最大， (2) 当时, 在或实现,由,则于是,实数的取值范围是.、设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且其中A,B为常数.（）求A与B的值；（）证明数列an为等差数列；（）证明不等式对任何正整数m、n都成立.分析：本题是一道数列综合运用题，第一问由a1、a2、a3求出s1、s2、s3代入关系式，即求出A=-20、B=-8；第二问利用公式，推导得证数列an为等差数列.由于an=1+5(n

4、-1)=5n-4，故第三问即是证明对任何正整数m、n恒成立.对此复杂的恒成立问题，我们可以用分析法将此恒成立问题进行等价转化，由于要等价转化故需要先移项再两边平方，整理得：，而基本不等式得到：，因此要证明原不等式恒成立，只要证5(m+n)-829，而此式对任何正整数m、n都能成立。通过等价转化，将原来恒成立不等式得到大大简化，从而将复杂问题简单化。、已知函数是定义在上的奇函数，且，若，有，（1）证明在上的单调性；（2）若对所有恒成立，求的取值范围。分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字母，最终求的是的范围，所以根据上式将当作变量，作为常量，而则根据函数的单调性求出的最大值即可。解：(1)简证：任取且，则又是奇函数在上单调递增。(2)对所有，恒成立，即，即在上恒成立。。、若函数在R上恒成立，求m的取值范围。解：在R上恒成立，即在R上恒成立。时，成立时，由，可知，、已知函数，在R上恒成立，求的取值范围。分析：的函数图像都在X轴上方，即与X轴没有交点。略解：10、已知f(x)x2axa3，且当时，恒成立，求的取值范围。解：，令在上的最小值为。当，即时，又不存在。当，即时，又当，即时，又总上所述，。11、已知f(x)x2axa3，且当时，恒成立，求的取值范围。解法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题。略解：，即在上成立。 22 。综上所述，。解法二：（利用根的分布情况知识）当，即时，不存在。当，即时，当，即时，综上所述。此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与其相反的，轴动区间定。12、若对任意的实数x1，1，不等式恒成立，求的取值范围。解法一：令，x1，1，对称轴为xk，则若，要使，即，不存在若，若使，即若，要使，即，故由，可知，。解法二：0在上恒成立。由，可知，。解法三：将原不等式转化为，再利用耐克函数的单调性求解。13、已知函数，常数，求（1）函数的定义域；（2）当满足什么条件时在区间（1，）上恒取正。解：（1）又故定义域（2）在区间（1，）上恒取正。即0即在区间（1，）内恒成立。设，在区间（1，）内单调递增且。

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