直线与圆的位置关系
8页1、7.6 直线与圆的位置关系知识梳理直线和圆1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式来讨论位置关系.0,直线和圆相交.=0,直线和圆相切.0,直线和圆相离.方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.dR,直线和圆相交.d=R,直线和圆相切.dR,直线和圆相离.2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.点击双基1.(2005年北京海淀区期末练习题)设m0,则直线(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为A.相切 B.相交C.相切或相离 D.相交或相切解析:圆心到直线的距离为d=,圆半径为.dr=(m2+1)=(1)20,直线与圆的位置关系是相切或相离.答案:C2.圆x2y24x+4y+6=0截直线xy5=0所得的弦长等于A. B. C.1 D.5解析:圆心到直线的距离为,半径为,弦长为2=.答案:A3.(2004年全国卷,4)圆
2、x2+y24x=0在点P(1,)处的切线方程为A.x+y2=0 B.x+y4=0C.xy+4=0 D.xy+2=0解法一:x2+y24x=0y=kxk+x24x+(kxk+)2=0.该二次方程应有两相等实根,即=0,解得k=.y=(x1),即xy+2=0.解法二:点(1,)在圆x2+y24x=0上,点P为切点,从而圆心与P的连线应与切线垂直.又圆心为(2,0),k=1.解得k=,切线方程为xy+2=0.答案:D4.(2004年上海,理8)圆心在直线2xy7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,4)、B(0,2),则圆C的方程为_.解析:圆C与y轴交于A(0,4),B(0,2),由垂径定理得圆心在y=3这条直线上.又已知圆心在直线2xy7=0上,解得x=2,联立 y=3,2xy7=0. 圆心为(2,3),半径r=|AC|=.所求圆C的方程为(x2)2+(y+3)2=5.答案:(x2)2+(y+3)2=55.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点,则k的取值范围是_.解析:利用数形结合.答案:1k1或k=典例剖析【例1】 已知圆x2+y2+x6y+m=0和直线x+2y3=0交于P、Q两点,且
3、OPOQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.剖析:由于OPOQ,所以kOPkOQ=1,问题可解.解:将x=32y代入方程x2+y2+x6y+m=0,得5y220y+12+m=0.设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则y1、y2满足条件y1+y2=4,y1y2=.OPOQ,x1x2+y1y2=0.而x1=32y1,x2=32y2,x1x2=96(y1+y2)+4y1y2.m=3,此时0,圆心坐标为(,3),半径r=.评述:在解答中,我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧,但必须注意这样的交点是否存在,这可由判别式大于零帮助考虑.【例2】 求经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点,且圆心在直线xy4=0上的圆的方程.剖析:根据已知,可通过解方程组得圆上两点,(x+3)2+y2=13,x2+(y+3)2=37 由圆心在直线xy4=0上,三个独立条件,用待定系数法求出圆的方程;也可根据已知,设所求圆的方程为(x+3)2+y213+x2+(y+3)237=0,再由圆心在直线xy4=0上,定出参数,得圆方程.解:因为所求的圆经过两圆(x+3)2+y2=1
4、3和x2+(y+3)2=37的交点,所以设所求圆的方程为(x+3)2+y213+x2+(y+3)237=0.展开、配方、整理,得(x+)2+(y+)2=+.圆心为(,),代入方程xy4=0,得=7.故所求圆的方程为(x+)2+(y+)2= .评述:圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若圆C1、C2相交,那么过两圆公共点的圆系方程为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(R且1).它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆.特别提示 在过两圆公共点的图象方程中,若=1,可得两圆公共弦所在的直线方程.【例3】 已知圆C:(x1)2(y2)225,直线l:(2m+1)x+(m+1)y7m4=0(mR).(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.剖析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得.(1)证明:l的方程(x+y4)+m(2x+y7)=0.得mR, 2x+y7=0, x=3,x+y4=0, y=1,即l恒过定点A(3,1).圆心
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