【名校精品】高考数学文科总复习【第二章】函数、导数及其应用 第十三节

1、名校精品资料数学 1了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次知识梳理 一、函数的导数与函数的单调性的关系1函数单调性的充分条件设函数yf(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y0，那么函数yf(x)在这个区间内为_；如果在这个区间内y0，则f(x)在相应区间内为增函数；若f(x)0，则f(x)在相应区间内为减函数二、函数的极值1函数极值的定义一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是_，记作_，x0是_如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)就说f(x0)是_，记作_，x0是极小值点极大值与极小值统称为_2.判别f(x0)是极大值、极小值的方法若x0满足f(x0)0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”

2、，那么x0是f(x)的_，f(x0)是_；如果f(x)在x0两侧满足“_”，那么x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值3求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数_(2)求方程_的根(3)用函数的导数为0的点和函数定义域的边界点，顺次将函数的定义域分成_，并列成表格检查f(x)在_，如果_，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果_，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右_，那么f(x)在这个根处_三、函数的最大值与最小值1函数的最大值与最小值在闭区间上图象连续不断的函数f(x)在上_最大值与最小值2利用导数求函数的最值的步骤 设函数f(x)在(a，b)内可导，在闭区间上图象连续不断，求函数f(x)在上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的_；(2)将f(x)的各_与_比较，得出函数f(x)在上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值一、1.增函数减函数2.y0减函数y03(2)f(x)f(x)0二、1.函数f(x)的一个极大值y极大值f(x0)极大值点函数f(x)的一个极小值y极小值f(x0)极值2极大值点极大值左负右正3

3、(1)f(x)(2)f(x)0(3)若干小开区间方程根左右的值的符号左正右负左负右正不改变符号无极值三、1.必有2.(1)极值(2)极值f(a)，f(b)基础自测1函数yxsin xcos x在(，3)内的单调增区间为()A. B.C. D(，2)解析：yxsin xcos x，yxcos x.当x(，3)时，要使yxcos x0，只要cos x0，结合选项知，只有B满足答案：B2. (2013四川南充二模)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()解析：因为函数f(x)在x2处取得极小值，所以，当x2时，f(x)0，所以xf(x)0；当2x0，f(x)0，所以xf(x)0.故选C.答案：C3(2012哈尔滨三中月考)函数f(x)x3x2ax5在区间1,2上不单调，则实数a的取值范围是_来源:解析：f(x)x3x2ax5，f(x)x22xa(x1)2a1.如果函数f(x)x3x2ax5在区间1,2上单调，那么a10或解得a1或a3.于是满足条件的a(3,1)答案：(3,1)4函数f(x)x33x21在x_处取得极小

4、值来源:答案：2来源:1(2012陕西卷)设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点 Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析：f(x)(x1)ex，令f(x)0，得x1，x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)xex为增函数，所以x1为f(x)的极小值点故选D. 答案：D2(2013北京卷)已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围解析：(1)由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)x(2cos x)，因为yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切所以f(a)a(2cos a)0且bf(a)，则a0，bf(0)1.(2)令f(x)0，得x0.所以当x0时，f(x)0，f(x)在(0，)递增当x0时，f(x)1时曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点所以b的取值范围是(1，)1已知函数f(x)(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的单调区间；(3)若关于x的方程f(x)k

5、恰有三个不同的根，求实数k的取值范围解析：(1)当x0时，x0，f(x)xln x，f(x)xln x，f(x)f(x)，当x0，f(x)xln(x)，f(x)xln(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(2)当x0时，f(x)xln x，f(x)ln xxln x1，令f(x)0，得 0x0，得 x，当x时，f(x)是增函数，又 f(x)是奇函数，当x时，f(x)是减函数，x时，f(x)是增函数，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，.(3)考查f(x)的图象变化，由(2)知，当x时，f(x)由0递减到f，当x时，f(x)由f递增到，当x时，f(x)由递增到f，当x时，f(x)由f递减到0，方程f(x)k恰有三个不同的根，f(x)的图象与yk的图象应有3个不同的交点，k0或0k.实数k的取值范围2(2013惠州一模改编)已知函数f(x)ax2bx1在x3处的切线方程为y5x8.来源:(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)kex恰有两个不同的实根，求实数k的值来源:解析：(1)由f(x)ax2bx1，所以f(x)2axb，因为函数f(x)ax2bx1在x3处的切线方程为y5x8，所以切点为(3,7)则解得a1，b1.所以f(x)x2x1；(2)由(1)知f(x)x2x1，关于x的方程f(x)kex恰有两个不同的实根，即x2x1kex有两个不同的实根，也就是kex(x2x1)有两个不同的实根令g(x)ex(x2x1)，2)e-x= 则g(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x23x (x1)(x2)ex由g(x)0，得x11，x22.所以当x(，1)时，g(x)0，g(x)在(，1)上为减函数；当x(1,2)时，g(x)0，g(x)在(1,2)上为增函数；当x(2，)时，g(x)0，g(x)在(2，)上为减函数；所以，当x1时，g(x)取得极小值g(1)，当x2时函数取得极大值g(2).函数yk与yg(x)的图象的大致形状如上，由图象可知，当k和k时，关于x的方程f(x)kex恰有两个不同的实根

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