2024年新高考艺体生冲刺复习考点31 双曲线（解析版）

1、考点31 双曲线一双曲线的定义条 件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2|MF1|MF2|2a2a|F1F2|M点的轨迹为双曲线F1、F2为双曲线的焦点|F1F2|为双曲线的焦距二双曲线定义的应用规律类型解读求方程由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c的值，从而求出a2，b2的值，写出双曲线方程解焦点三角形利用双曲线上点M与两焦点的距离的差|MF1|MF2|2a(其中2a|F1F2|)与正弦定理、余弦定理，解决焦点三角形问题三.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图 形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2a2b2(ca0，cb0)四等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等

2、轴双曲线，其标准方程可写作：x2y2(0)(2)等轴双曲线离心率e两条渐近线yx相互垂直(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法与双曲线1共渐近线的方程可设为(0)；若双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的方程可设为(0)；若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为1(mn0)或mx2ny21(mn0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0直线与圆锥曲线C相离(2)当a0，b0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合六 弦长与中点弦1.求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长2,。联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长七.求双曲线离心率或其取值范围的方法1.直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.2.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2

3、c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.3.双曲线1(a0，b0)的渐近线可由0即得两渐近线方程0.4.双曲线的渐近线的相关结论(1)若双曲线的渐近线方程为yx(a0，b0)，即0，则双曲线的方程可设为(0).(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.(3)双曲线1(a0，b0)的渐近线yx的斜率k与离心率e的关系：e.考点一 双曲线的定义及应用【例1-1】（2024江苏常州）已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线上，则（）A13B10C1D13或1【答案】A【解析】由题意得焦距为，由双曲线定义可得，所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确.故选：A.【例1-2】（2024河南南阳）若椭圆和双曲线的共同焦点为，是两曲线的一个交点，则的面积值为（）A4B8C12D16【答案】A【解析】不妨设为左焦点，为右焦点，为两曲线在第一象限的交点，则由已知得，则，则，所以.故选：A.【例1-3】（2024天津）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（）ABCD【答案】D【解析】因为双曲线的离心率为2，所以，解得，则左焦点，由双曲线的定义得，因为，即当，三

4、点共线时最大，所以，最大值为.故选：D.【变式】1（2024贵州安顺）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（）A8或20B20C6或22D22【答案】B【解析】由双曲线方程可知，设双曲线的右焦点为，中，点分别是的中点，所以，则，又因为.故选：B2（2024云南）双曲线的左右焦点分别为，点为双曲线上异于顶点的任意一点，且，则（）ABC1D【答案】D【解析】不妨设点在第一象限，如图所示，由得，令，则，所以，即，且，可得，将代入可得，所以，所以，故选：D3（2024陕西西安）已知分别为双曲线的左右焦点，为的右支上一点，且，则到直线的距离为（）ABCD【答案】A【解析】双曲线的半焦距，故的实半轴，故由双曲线的定义可知，过作的垂线，垂足为，,则为线段的中点，故，所以.故选：A.4（2024上安徽滁州 ）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（）ABCD【答案】D【解析】双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为，圆半径为，显然点在圆外，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，当且仅当三点共线时取等号，由双

5、曲线的定义，所以，即的最小值为.故选：D5（2024上辽宁葫芦岛高三统考期末）已知点是双曲线的左焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（）A8B5C3D2【答案】B【解析】设右焦点为，又由对称性，不妨设在渐近线上.根据双曲线的定义可得，当且仅当三点共线时取等号.又当与渐近线垂直时取最小值，为，故最小值为5.故选：B考点二 双曲线的标准方程【例2-1】（2024陕西西安）双曲线的一个顶点为，虚半轴长为，则双曲线的标准方程是（）.ABCD【答案】C【解析】由已知双曲线的一个顶点为，可知双曲线的焦点在轴上，且，又虚半轴长为，所以双曲线方程为，故选：C.【例2-2】（2024上福建福州）双曲线的一个顶点为，渐近线方程为，则双曲线方程是（）ABCD【答案】C【解析】由双曲线的一个顶点为得双曲线的焦点在轴，可设双曲线方程为，则，因为渐近线方程为，即，所以，所以，所以所求双曲线的方程为.故选：B【变式】1（2024福建福州）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的方程为（）ABC或D或【答案】C【解析】实轴长，若双曲线焦点在x轴上，则双曲线方程为，若

6、双曲线焦点在y轴上，则双曲线方程为.故选：C2（2024全国高三校联考专题练习）已知双曲线：的左右焦点分别为，离心率为，点在轴上，线段的中点恰在双曲线上，则双曲线的方程为（）ABCD【答案】B【解析】设，设线段的中点为，则在双曲线的右支上，得，由，得，即，又，得，得双曲线的方程.故选：B.4（2024河南高三校联考期末）已知双曲线经过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（）ABCD【答案】B【解析】由双曲线的渐近线方程为，所以设双曲线的方程为，把代入方程，可得，所以所求标准方程为.故选：B.5（2024上广东茂名）双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（）ABCD【答案】D【解析】由题意知，所以，所以双曲线的方程为.故选：D.6（2024山东威海）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且为与椭圆的一个交点，若，则的方程为（）ABCD【答案】D【解析】由题意可设双曲线方程为，由于双曲线与椭圆有相同的焦点，故，即，不妨设P在第一象限，为左焦点，为右焦点，则，以上两式平方后相加减，得，由于，故，则，则，故双曲线方程为，故选：D考点三 直线与双曲线的位置关系【例3-1】（2023北京）讨论

7、直线与双曲线的公共点的个数【答案】时，无公共点；时，有一个公共点【解析】联立直线和双曲线方程，消去y得整理得，若，则方程变为，无解，此时直线与双曲线无公共点事实上，此时直线为，就是双曲线的渐近线，自然与双曲线无公共点若，即直线平行于两条渐近线中的一条，方程成为一元一次方程，有唯一解，原方程组有唯一一组解，此时直线与双曲线有一个公共点综上可知，时，无公共点；时，有一个公共点【例3-2】（2023湖北武汉）过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（）A1条B2条C3条D4条【答案】C【解析】当时，所以，故点在双曲线上，因此过点且与双曲线的两条渐近线平行的直线，只与双曲线有一个交点，设（且）将其代入双曲线方程可得，化简得，令，化简得，解得，故过点处的切线也只与双曲线有唯一的交点，或者由得，当时，故，故处的切线斜率为，故过点经过点的直线方程为，即，联立与可得，解得，因此在点处的切线也只与双曲线有唯一的交点，综上可知：过点的直线有3条与双曲线有一个交点，故选：C【例3-3】（2023上四川成都 ）已知直线，双曲线，则（）A直线与双曲线有且只有一个公共点B直线与双曲线的左支有两个公共点C直线与双曲线的右支有两个公共点D直线与双曲线的左右两支各有一个公共点【答案】C【解析】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示：由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程得，解得或，则直线与双曲线的右支有两个公共点.故选：C.【变式】1（2024黑龙江 ）双曲线与直线的公共点的个数为（）A0B1C0或1D0或1或2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，当时，直线与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点；当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有一个交点.故选：C2（2023安徽）直线与双曲线的交点个数是（）A0B1C2D3【答案】A【解析】方法一：联立直线与双曲线的方程，得，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点.方法二：由，得，所以双曲线的渐近线方程为，因为直线是双曲线的一条渐近线，因此交点个数为0.故选：A3（2024黑龙江）讨论直线与双曲线的公共点的个数【答案】答案见解析【解析】联立方程组，整理

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