历年全国自考线性代数试题及答案

1、全国2010年7月高等教育自学考试试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R(A)表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。1.设3阶方阵A=1，2，3，其中i(i=1,2,3)为A的列向量，若|B|=|1+22，2，3|=6，则|A|=（ ）A.-12B.-6 C.6D.122计算行列式（ ）A.-180B.-120C.120D.1803设A=，则|2A*|=（ ）A.-8B.-4C.4D.84.设1，2，3，4都是3维向量，则必有A. 1，2，3，4线性无关B. 1，2，3，4线性相关C. 1可由2，3，4线性表示D. 1不可由2，3，4线性表示5若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则R(A)=（ ）A2B 3C4D56设A、B为同阶矩阵，且R(A)=R(B)，则（ ）AA与B相似B|A|=|B|CA与B等价DA与B合同7设A为3阶方阵，其特征值分别为2，l，0则|A+2E|=（ ）A0B2C3D248若A、B相似，则下列说法错误的是（ ）AA与B等价BA与B合同C|A|=|B|DA与B有相同特征9若向量=(1

2、，-2，1)与= (2，3，t)正交，则t=（ ）A-2B0C2D410设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2，l，0，则（ ）AA正定BA半正定CA负定DA半负定二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1l.设A=,B=，则AB=_.12设A为3阶方阵，且|A|=3，则|3A-l|=_.13三元方程x1+x2+x3=0的结构解是_.14设=(-1，2，2)，则与反方向的单位向量是_15设A为5阶方阵，且R(A)=3，则线性空间W=x|Ax=0的维数是_16设A为3阶方阵，特征值分别为-2，l，则|5A-1|=_17若A、B为同阶方阵，且Bx=0只有零解，若R(A)=3，则R(AB)=_18二次型f(x1，x2，x3)=-2x1x2+-x2x3所对应的矩阵是_.19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解1=，2=，且R(A)=2,则Ax=b的通解是_.20.设=，则A=T的非零特征值是_.三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21计算5阶行列式D= 22.设矩阵X满足方程X=求X.23.求非齐次线性方程组的结构解.24

3、.求向量组1=（1，2，3，4），2=（0，-1，2，3），3=（2，3，8，11），4=（2，3，6，8）的秩.25.已知A=的一个特征向量=（1，1，-1）T，求a,b及所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.26.用正交变换化二次型f(x1,x2,x3)=为标准形，并写出所用的正交变换.四、证明题（本大题共1小题，6分）27设1，2，3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.证明1，1+2，2+3也是Ax=0的基础解系.全国2011年1月说明：本卷中，AT表示矩阵A转置，det(A)表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，(，)表示向量，的内积，E表示单位矩阵一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无1设A是4阶方阵，且det(A)=4，则det(4A)=( )A44B45C46D472已知A2+A+E=0，则矩阵A-1=( )AA+EBA-EC-A-ED-A+E3设矩阵A，B，C，X为同阶方阵，且A，B可逆，AXB=C，则矩阵X=( )AA-1

4、CB- BCA-1B-1 CB-1A-1CDCB-1A-14设A是sn 矩阵(sn)，则以下关于矩阵A的叙述正确的是( )AATA是ss对称矩 BATA=AAT C(ATA)T =AAT DAAT是ss对称矩阵5设1，2，3，4，5是四维向量，则( )Al，2，3，4，5一定线性无关Bl，2，3，4，5一定线性相关C5一定可以由1，2，3，4线性表出D1一定可以由2，3，4，5线性表出6设A是n阶方阵，若对任意的n维向量X均满足AX=0，则( )AA=0BA=EC秩(A)=nD0秩(A)n7设矩阵A与B相似，则以下结论不正确的是( )A秩(A)=秩(B) BA与B等价CA与B有相同的特征值DA与B的特征向量一定相同8设，为矩阵A=的三个特征值，则=( )A10B20C24D309二次型f(x1，x2，x3)=的秩为( )A1B2C3D410设A，B是正定矩阵，则( )AAB一定是正定矩阵BA+B一定是正定矩阵C(AB)T一定是正定矩阵DA-B一定是负定矩阵二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)11设A=，k为正整数，则Ak= 12设2阶可逆矩阵A的逆矩阵A-1=，则矩阵A

5、=_13设同阶方阵A，B的行列式分别为-3，5，则det（AB）=_.14设向量=(6, -2, 0, 4), =（-3，1，5，7），向量满足2+=3,则=_.15实数向量空间V=(x1, x2, , xn)|3 x1+ x2+ xn =0的维数是_16矩阵A=的秩=_.17设是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则A（3）=_.18设方阵A有一个特征值为0，则det(A3)=_.19设P为正交矩阵，若（Px, Py）=8, 则（x, y）=_.20设f(x1，x2，x3)=是正定二次型，则t满足_.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式22判断矩阵A=是否可逆，若可逆，求其逆矩阵23求向量组=(1，2，-1，-2),=(2，5，-6，-5),=(3，1，1，1), =(-1，2，-7，-3)的一个最大线性无关组，并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来24求齐次线性方程组的一个基础解系及其结构解25求矩阵A=的特征值和特征向量26写出下列二次型的矩阵，并判断其是否是正定二次型f(x1，x2，x3)=四、证明题(本大题共1小题，6分)27设方阵A满足(A+E)2

6、=E，且B与A相似，证明：B2+2B=0全国2011年4月高等教育自学考试 说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。1.下列等式中，正确的是（）A.B. C.D.2.设矩阵A=，那么矩阵A的列向量组的秩为（）A.3B.2C.1D.03.设向量=（-1，4），=（1，-2），=（3，-8），若有常数a,b使a-b-=0,则（）A.a=-1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=-2D.a=1,b=24.向量组=（1，2，0），=（2，4，0），=（3，6，0），=（4，9，0）的极大线性无关组为（）A.，B.， C.，D.，5.下列矩阵中，是初等矩阵的为（）A.B. C.D.6.设A、B均为n阶可逆矩阵，且C=，则C-1是（）A.B.C.D.7.设A为3阶矩阵，A的秩r(A)=3，则矩阵A*的秩r(A*)=（）A.0 B.1 C.2D.38.设=3是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（）A.B.C.D.9.设矩阵A=，则A的对应于特征值=0的特征向量为（）A.（0，0，0）TB.（0，2，-1）TC.（1，0

7、，-1）TD.（0，1，1）T10.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）11.行列式=_.12.设矩阵A=，B=（1，2，3），则BA= _.13.行列式中第4行各元素的代数余子式之和为_.14.设A，B为n阶方阵，且AB=E，A-1B=B-1A=E，则A2+B2=_.15.设向量=（1，2，3，4），则的单位化向量为_.16.设3阶方阵A的行列式|A|=，则|A3|=_.17.已知3维向量=（1，-3，3），=（1，0，-1）则+3=_.18.设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的通解为_.19.设1，2，n是n阶矩阵A的n个特征值，则矩阵A的行列式|A|=_.20.二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3的秩为_.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.已知矩阵A=，B=，求：（1）ATB；（2）| ATB |.22.设A=，B=，C=，且满足AXB=C，求矩阵X.23.求向量组=(1,2,1,0)T，=（1,1,1,2）T，=（3,4,3,4）T，=

8、（4,5,6,4）T的秩与一个极大线性无关组.24.判断线性方程组是否有解，有解时求出它的解.25.设向量=（1，1，0）T，=（-1，0，1）T，（1）用施密特正交化方法将，化为正交的，；（2）求，使，两两正交.26.已知二次型f=，经正交变换x=Py化成了标准形f=，求所用的正交矩阵P.四、证明题（本大题共6分）27.设A为5阶反对称矩阵，证明|A|=0.全国2011年7月高等教育自学考试1设，则=（）A-49B-7C7D492设A为3阶方阵，且，则（）A-32B-8C8D323设A，B为n阶方阵，且AT=-A，BT=B，则下列命题正确的是（）A（A+B）T=A+BB（AB）T=-ABCA2是对称矩阵DB2+A是对称阵4设A，B，X，Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（）A若A2=0，则A=0B（AB）2=A2B2C若AX=AY，则X=YD若A+X=B，则X=B-A5设矩阵A=，则秩（A）=（）A1B2C3D46若方程组仅有零解，则k=（）A-2B-1C0D27实数向量空间V=（x1，x2，x3）|x1 +x3=0的维数是（）A0B1C2D38若方程组有无穷多解，则=（）A1B2C3D49设A=，则下列矩阵中与A相似的是（

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