数学高考基础知识 常见结论详解(二)

1、数学高考基础知识、常见结论详解(二)四、数列 考试要求：(1) 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义;了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。(2) 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。(3) 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题。本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前 项和 ，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 。（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容。（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标。 函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解。 分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 及 ；已知 求 时，也要进行分类； 整体思

2、想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解。（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错。一、基本概念：1、数列的定义及表示方法：2、数列的项与项数：3、有穷数列与无穷数列：4、递增（减）、摆动、循环数列：5、数列an的通项公式an：6、数列的前n项和公式Sn:7、等差数列、公差d、等差数列的结构：8、等比数列、公比q、等比数列的结构： 二、基本公式：9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。11、等差数列的前n项和公式：Sn= ；Sn= Sn= 当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a10），Sn=na1是关于n的正比例式。12、等比数列的通项公式： an=a1qn-

3、1an=akqn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0)。13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1 (是关于n的正比例式)；当q1时，Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论14、等差数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列。15、等差数列an中，若m+n=p+q，则 16、等比数列an中，若m+n=p+q，则 17、等比数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等比数列。18、两个等差数列an与bn的和差的数列an+bn、an-bn仍为等差数列。19、两个等比数列an与bn的积、商、倒数组成的数列an bn、 、 仍为等比数列。20、等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。21、等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3

4、(为什么？)提示：等比数列各项可以不同号24、an为等差数列，则 (c0)是等比数列。25、bn（bn0）是等比数列，则logcbn (c0且c 1) 是等差数列。26. 在等差数列 中：（1）若项数为 ，则 （2）若数为 则， ， 27. 在等比数列 中：（1）若项数为 ，则， （2）若数为 则， 四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。28、分组法求数列的和：如an=2n+3n 29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)31、倒序相加法求和：如an= 32、求数列an的最大、最小项的方法： an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 (an0) 如an= an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= 33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题常用邻项变号法求解：(1) 当 0,d0时，满足 的项数m使得 取最大值 。(2) 当 0时，满足 的项数m使得 取最小值 。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 五、平面向量 考试要求：(1) 理解向量的概念，掌握向量

5、的几何表示，了解共线向量的概念。(2) 掌握向量的加法和减法。(3) 掌握实数与向量的积.理解两个向量共线的充要条件。(4) 了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。(5) 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。(6) 掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式.并且能熟练运用掌握平移公式。一基本概念：1、向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。2、加法与减法的代数运算：(1) 。(2) 若 =（ ）, =（ ）则 =（ ）。向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量 = + , = , = 且有 + 。向量加法有如下规律： = (交换律); +( + )=( + )+ （结合律）; + = ( )= 。3实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。(1) = ;(2) 当 0时， 与 的方向相同；当 0时， 与 的方向相反；当 =0时， = 。 (3)

6、若 =（ ），则 =（ ）。两个向量共线的充要条件：(1) 向量与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= 。(2) 若 =（ ）, =（ ）则 。平面向量基本定理：若 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = + 。4P分有向线段 所成的比：设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。当点P在线段 上时， 0；当点P在线段 或 的延长线上时， 0；分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）,（ ）；则 （ 1）， 中点坐标公式： 。 5向量的数量积：（1）向量的夹角：已知两个非零向量 与b，作 = , = ,则AOB= （ ）叫做向量 与 的夹角。（2）两个向量的数量积：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 = cos 。其中 cos 称为向量 在 方向上的投影。（3）向量的数量积的性质：若 =（ ）, =（ ）则 = = cos ( 为单位向量); =0 （ ， 为非零向量）;= ;cos = = 。(4) 向量的

7、数量积的运算律： = ;( ) = ( )= ( );( ) = + 。二、主要思想与方法：本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。六、立体几何 考试要求：A.直线、平面、简单几何体(1) 掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系。(2) 掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理.掌握两条直线所成的角和距离的概念.对于异面直线的距离.只要求会计算已给出公垂线时的距离。(3) 掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念；掌握三垂线定理及其逆定理。(4) 掌握两个平面平行的判定定理和性质定理.掌握二面角、二面角的平

8、面角、两个平行平面间的距离的概念.掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。(5) 会用反证法证明简单的问题。(6) 了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念。(7) 了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。(8) 了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。(9) 了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。B.直线、平面、简单几何体(1) 掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。能够根据图形想像它们的位置关系。(2) 掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理。(3) 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。(4) 了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标运算。(5) 掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式。(6) 理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。(7) 掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距离，只要求会计算己给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理。(8) 了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念。(9) 了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。(10) 了解棱锥

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