2024年新高考艺体生冲刺复习考点24 指数运算及指数函数（解析版）

1、考点24指数运算及指数函数一根式(1)根式的概念若xna，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数a的n次方根的表示：xna(2)根式的性质()na(nN*，且n1)二有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)三指数函数的概念函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数形如ykax，yaxk(kR且k0，a0且a1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数四指数函数yax(a0，且a1)的图象与性质底数a10a0时，恒有y1；当x0时，恒有0y0时，恒有0y1；当x1在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数注意指数函数yax(a0，且a1)的图象和性质与a的取值有关，应分a1与0a1来研究考点一 指数的运算【例1】（2024河南漯河）计算(1)；(

2、2)（3）计算：;（4）已知，求.【答案】(1)3(2)2（3）；（4）【解析】（1）=；（2）由 .（3）；（4）因为，所以，所以，所以，所以.【变式】（2024辽宁）（1）计算：.（2） 化简（3）化简：，其中（4）求值：(5)；(6).(7)计算：；(8)若，求的值(9)计算：(10)计算：已知，则 =【答案】（1）（2）-6（3）（4）(5)；(6).(7)(8)(9)(10)【解析】（1）原式.（2）由题意可得：= （3）原式，又因为，所以原式.（4）原式.（5）；（6）.（7）（8），（9）原式；（10），所以.考点二 指数函数的辨析【例2-1】（2023宁夏吴忠）给出下列函数，其中为指数函数的是（）ABCD【答案】C【解析】因为指数函数的形式为且，所以是指数函数，即C正确；而ABD中的函数都不满足要求，故ABD错误.故选：C.【例2-2】（2024天津河西）若函数是指数函数，则的值为（）A2B1C1或D【答案】D【解析】因为函数是指数函数，且，由解得或，故选：D.【变式】1（2023陕西西安）若指数函数的图象过点，则的解析式为（）ABCD【答案】C【解析】设，因的图象过点

3、，则，得，所以，故选：C.2（2023江西新余）下列函数是指数函数的是（）AB C D 【答案】D【解析】根据指数函数的定义：形如（且）的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项D正确故选：D3（2023江西新余）（多选）若函数是指数函数，则实数的值为（）ABCD【答案】AB【解析】因为函数是指数函数，所以，解得或.故选：AB4（2023北京）（多选）函数是指数函数，则的值不可以是（）A4B3C2D1【答案】ACD【解析】由指数函数的定义知且，解得.故选：ACD.考点三 指数函数的定义域【例3-1】（2022全国高三专题练习）设函数，则函数的定义域为（）ABCD【答案】D【解析】因为，所以，故，故的定义域为，令，则，故的定义域为.故选：D.【例3-2】（2024山东威海）函数的定义域为（）ABCD【答案】A【解析】对于函数，有，可得，解得，因此，函数的定义域为.故选：A.【变式】1（2024北京）函数的定义域为（）ABCD【答案】C【解析】由函数有意义，则满足，即，解得，所以函数的定义域为.故选：C.2（2023安徽）若函数的定义域为，则函数的定义域为（）ABCD【答案】C【解析】函数

4、的定义域为，令，解得，故函数的定义域为故选：C3（2023山东滨州）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】由题意可得对任意恒成立，即，且在内单调递增，可得，即对任意恒成立，则，解得，所以实数的取值范围为.故选：B.考点四 指数函数的单调性【例4-1】（2024云南昆明）函数的单调递增区间为（）ABCD【答案】B【解析】令，则，单调递减，单调递增，且在上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为.故选：B【例4-2】（2023上四川成都）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】令，则.因为在上单调递减，在上单调递增，在R上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减.因为在上单调递减，所以有，解得.故答案为：【变式】1（2024上湖南衡阳）函数的递增区间是 【答案】/【解析】函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数在上单调递减，根据复合函数单调性同增异减可知，函数的递增区间是.故答案为：2（2024天津和平）设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】A【解析】函数在上单调递减，在上单调递增，函数在R上单调递减

5、，因此函数的递增区间是，递减区间是，依题意，则，解得，所以实数的取值范围为.故选：A3（2024重庆）若函数是上的单调递增函数.则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】因为函数在上单调递增，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A考点五 指数函数的值域【例5-1】（2023新疆喀什）的值域是（ ）ABCD【答案】D【解析】函数单调递减，所以函数的最大值为，最小值为，所以函数的值域为.故选：D【例5-2】（2024北京）函数（且）的值域是，则实数（）A3BC3或D或【答案】C【解析】函数（且）的值域为，又由指数函数的单调性可知， 当时，函数在上单调递减，值域是所以有，即 ，解得；当时，函数在上单调递增，值域是所以有，即 ，解得.综上所述，或.故选：C.【例5-3】（2024上天津滨海新）若函数有最小值，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】由在上递增，且值域为，由，开口向上且对称轴为，所以，二次函数在上递减，在上递增，要使有最小值，当时，显然不成立；当时，则，可得；综上，实数的取值范围是.故选：B【变式】1（2024北京平谷）函数的定义域为则其值域为（）ABCD【答案

6、】C【解析】由题意，所以，.故选：C.2（2023上海）函数的值域为 【答案】【解析】因为，所以，即函数的值域为.故答案为：.3（2024上北京大兴 ）指数函数在区间上最大值与最小值的差为2，则等于 .【答案】2【解析】当时，单调递增，故，解得或（舍去），当时，单调递减，故，无解，综上，等于2.故答案为：24（2023上重庆沙坪坝高三重庆市第七中学校校考阶段练习）函数的值域为 ，单调递增区间为 .【答案】 （开闭均可）【解析】令，解得，所以函数的定义域为，则，所以，所以，即函数的值域为；令，令，其在上是增函数，在上是减函数，而函数在定义域内为增函数，所以函数在上是增函数，在上是减函数，因为函数是减函数，所以函数的单调递增区间为.故答案为：；（开闭均可）.5（2024上重庆）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】当时，函数单调递增，故有，此时函数的值域为，当时，函数单调递减，故有，此时函数的值域为，要想函数的值域为，只需，故选：B考点六 指数函数的图像【例6-1】（2024上安徽 ）函数在上的大致图象为（）A B C D 【答案】D【解析】依题意，因此函数是偶

7、函数，其图象关于y轴对称，排除AB；又，选项C不满足，D符合题意.故选：D【例6-2】（2024上江西景德镇）当且时，函数恒过定点（）ABCD【答案】B【解析】当时，与无关，则函数恒过定点故选：B.【变式】1（2024福建泉州）若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（）ABCD【答案】A【解析】由题意函数 与函数 互为反函数，所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点，对比选项可知A符合题意.故选：A.2（2024上福建莆田）对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（）ABCD【答案】B【解析】对于函数，令，故的图象过定点，由于点在角的终边上，则，故选：B3（2022下陕西咸阳）已知函数（且）的图象过定点P，则定点P的坐标是 .【答案】【解析】指数函数（且）的图象恒过点，对于函数（且），令，得，此时，故函数（且）的图象过定点.故答案为：.考点七 指数函数的综合运用【例7-1】（2024上天津高三校联考期末）已知，则的大小关系是（）ABCD【答案】B【解析】易知，由在R上单调递增得，而在上单调递增，所以，综上.故选：B【例7-2】（2022全国高三专题练习）已知函数，则的解集为（）ABCD【答案】A【解析】由函数，设，则不等式，可化为，即，又由函数的定义域为，关于原点对称，且，所以为奇函数，又由函数为上的增函数，为上的减函数，所以函数为上的增函数，所以不等式，即为，可得，解得，即不等式的解集为.故选：A.【变式】1（2024上云南昆明）若，则a，b，c的大小关系是（）ABCD【答案】B【解析】因为在R上单调递增，所以，因为在R上单调递减，所以，所以，即.故选：B.2（2023河北邯郸统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】因为，令，则，所以为奇函数，则关于原点对称，所以关于对称，则，则在定义域上单调

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