数列极限和函数极限
6页1、数列极限和函数极限极限概念是数学分析中最重要的概念,如连续、导数、积分等都要用极限来定义,而且由极限出发产生的极限方法,是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想,掌握极限理论,应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、判别方法等问题.1.极限定义11 数列极限定义设有数列与常数,如果对于任意给定的正数(不论它有多么小),总存在正整数,使得当时,不等式 都成立,那么就称常数是数列的极限,或者称数列收敛于,记作.读作“当趋于无穷大时,的极限等于或趋于”.数列极限存在,称数列为收敛数列,否则称为发散数列.关于数列极限的定义,着重注意以下几点: (1)的任意性: 定义中正数的作用在于衡量数列通项与定数的接近程度越小,表示接近的越好.而正数可以任意的小,说明与可以接近到任何程度,然而,尽管有其任意性,但一经给出,就暂时的被确定下来,以便依靠它来求出.(2)的相应性: 一般说,随的变小而变大,由此常把写作,来强调是依赖与的,但这并不意味着是由所唯一决定的,重要的是的存在性,而不在于它值得大小.另外,定义中的也可以改写成.(3)几何意义:对于任何一个以为中心,为半径的
2、开区间,总可以在数列中找到某一项,使得其后的所有项都位于这个开区间内,而在该区间之外,最多只有的有限项(项).数列是定义在自然数集上的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值,其解析表达式为;我们把数列中的用来替换后就得到了一个函数,数列和函数的区别在于数列中的点是离散的,而函数是连续的,那么类似的我们也有函数极限的定义.12函数极限定义 / 1.2.1 时函数的极限:设函数为上的函数,为定数,若对任给的,总存在着正数,使得当时有,则称函数当趋于时以为极限,记作.即有有.对应的,我们也有的相应的语言成立.对于函数极限的定义着重注意以下几点:(1)在定义中正数的作用与数列极限定义中的类似,表明充分大的程度;但这里所考虑的是比大的所有实数,而不仅仅是正整数.(2)当时,函数以为极限意味着: 的任意小邻域内必含有在的某邻域内的全部函数值.(3)几何意义是:对任给的,在坐标平面上,平行于轴的两条直线与,围成以直线为中心线,宽为的带形区域;定义中的“当时,有”表示:在直线的右方,曲线全部落在这个带形区域之内.1.2.2 时函数的极限:设函数 在点的某一去心邻域内有定义,为定
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