公共基础-数学之无穷级数学习笔记
9页1、1.4 无穷级数1.4.1 数项级数1级数的存在意义和概念级数是一个多项和。无穷级数是一个无穷多项的和。级数理论 是分析学的一个分支,它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具,分别从离散和连续两个方面,结合起来研究分析学的对象,即变量之间的依赖关系函数。l 级数理论的基本问题:级数的收敛问题l 级数的作用:研究函数l 级数的应用:近似计算2常数项级数的概念和性质l 概念:un是一个数列,n=1un 是无穷级数Sn=i=1nui称为级数un 的部分和 若limnSn=S存在,称级数n=1un 收敛,当级数收敛时,对于余项rn=i=n+1ui 有 limnrn=0若limnSn=S不存在,称级数n=1un 发散l 性质和的级数 = 级数的和每一项的常数倍之和 = 级数的常数倍3典型级数n=1aqn-1当q1时 收敛,当00时,称为 正项级数。什么是审敛法?就是通过级数的各种极限形式来判别级数的收敛与发散的方法。l 收敛准则:正项级数收敛的充要条件是其部分和有界。部分和有界 是部分和数列 有界的必要条件。l 比较审敛法:n=1un 、 n=1v
2、n对于N0,当时,0unCvn(C为常数),若后者收敛则前者收敛,若前者发散则后者发散。比较审敛法的极限形式是limnunvn=l当0l时,两级数同时收敛或同时发散。l 比值审敛法(后项比前项)若limnun+1un=l当l1或l=+时 发散,当l=1时 级数可能收敛也可能发散。l 根植审敛法limnnun=l当l1或l=+时 发散,当l=1时 级数可能收敛也可能发散。5. 任意项级数审敛法(3条)如果级数 un 为任意实数,则其各项之和称为 任意项级数。即每一项的正负值不确定若级数的正负项交替出现,即级数可以表示成n=1(-1)nun (un0) 的形式,则称为交错级数。l 如果级数n=1un 为任意项级数,且级数n=1un 收敛,则称原任意项级数 绝对收敛;若前者收敛,而后者发散,则称 原级数条件收敛。l 莱布尼兹判别法若交错级数n=1(-1)nun (un0) 满足:unun+1及limnun=0,则原级数收敛,且有 余项 rnun+1l 若任意项级数 绝对收敛,则该级数收敛。l 如果级数n=1un 为任意项级数,且级数limnun+1un=l(或limnnun=l)则当l1或l
3、=+时 发散,当l=1时 级数可能收敛也可能发散。该部分可以类比 正项级数的 审敛法第3和4条,意思一样1.4.2 幂级数 泰勒级数在第一节中学的是 数项级数,即级数中的每一项都是常数(不管正的还是负的),但是有些级数的通项并不是常数,而是函数,这样的级数 就是函数级数此概念与 数项级数相对应本节将要学习的幂级数和泰勒级数 都是函数级数的一种。1. 幂级数的概念和性质形如n=0an(x-x0)n称为幂级数,令t=x-x0,则 幂级数的标准形式为n=0antn一个标准形式的幂级数完全由它的系数an来决定。这也是为什么 后面对幂级数的 处理都是针对an 来的,而不是前面的数项级数的un2.阿贝尔定理若上级数在t=t0 处收敛,则对tt0 的所有t,级数绝对收敛若 发散, 发散3.幂级数的收敛半径及其求法 R 对幂级数n=0anxn若limnan+1an=(或limnnan=)则它的收敛半径R与 有一定的对应关系R=1 当0时 0 当+时+ 当=0时4. 函数展开成幂级数的方法l 只考虑 间接法:利用一些已知的函数展开式、幂级数的运算(如四则运算、逐项求导、逐项积分)以及变量代换等,将所给函
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