学生成绩分析数学模型

1、科学全面的学生素质评价体系摘要随着现代科学技术的迅猛发展，社会对人才提出了越来越高的要求。用人单位更强调人才的综合素质，而不仅以学习成绩论成败。社会上人才观念的这一变化，凸显了提高大学生综合素质的重要性。客观、科学地全面评价学生，是对学生个体的认可、也是对学生鼓励；激励先进，勉励后进，是营造良好学风的关键之一。如何全面、客观、科学地评价大学生的综合素质能力，建立一套科学合理的素质评价体系则是解决这一问题的重中之重。本文采用层次分析法，构建了一套评价普通高校大学生综合素质的指标体系，希望能够在大学的教育教学管理中提供借鉴。本文首先通过分析附件中的 612 名学生四个学期综合成绩，发现成绩会根据试题的不同导致分布状态的变化，利用 SK 法，Q-Q 图检验为负偏态分布。所以首先利用转化函数将所给的成绩进行标准化使得标准化后的成绩能够满足统一的正态分布曲线，去除了试卷难度对于学生的影响。然后在对学生学习的评估中，利用了 Virsul Foxpro 语言最基本的赋值语句对学生的综合素质结果进行复制后我们有运用了建立方差分析法、聚类分析法、对学生成绩坐了进一步的分析与判定。在计算过程中，我们运用了

2、 SK 法、Q_Q 图、析法，在探讨过程中，我们发现假设在学生学习情况不变的情况下 excel 中的方差分析法、以及聚类分都能得到可行性的科学评估值，可以很好的反应学生的动态的进步情况，而 SK 法、Q_Q 图只能单方面的反应，并不全面。最后，我们对我们所建立的模型进行了客观的比较，并对其应用前景进行了展望。关键字：2 问题的重述 正确地、科学的评价学生的学习状况对于学校的教学工作至关重要，它是学生认识自己的前提条件，是激励学生努力学习不断进步的动力，同时也是教师培养学生的参照基础。然而，现行的评价方式单纯的根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了基础条件的差异；只对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础条件相对薄弱的学生很难起到鼓励作用。在本题中，附件给出了 名学生连续四个学期的综合成绩。要求我们做612到以下三点：1.根据附件数据，对这些学生的整体情况进行分析说明；2.根据附件数据，采用两种及以上方法，全面、客观、合理的评价这些学生的学习状况；3.根据不同的评价方法，预测这些学生后两个学期的学习情况。3 问题的分析1、首先我们通过原始数据可以做出其基本的统计量和直方图。考虑到在学

3、生成绩评价中会收到试卷难度等因素的影响。所以必须得构造转化函数将所给的成绩进行标准化使得标准化后的成绩能够满足统一的正态分布曲线，去除了试卷难度对于学生的影响。2、在学生整体成绩评估中，我们可以分析学生成绩平均值和稳定度的关系、分析学生成绩段人数、分析学生整体进步度、分析基础成绩对于总成绩的影响。3、对于构造模型对学生学习状况进行合理有效的评估，我们可以利用方差分析法、聚类分析法以及层次分析法这三个模型进行评价。4 模型的假设1、假设每个同学的学习能力基本不变2、假设每个学生处于相同的考试环境中3、假设附件中所给数据为学生真实考试成绩，不存在作弊问题4、以后两个学期与前面四个学期采用同样的记分方式5、在模糊预测模型中我们假设两个学期学生的学习状况是不变的5 符号的说明P： 学期 M: 学生序号D：总评价的分他主要符号将在模型建立的时候详细说明6 模型的建立5.1 数据标准化为了避免现行评价方式中仅根据“绝对分数”评价学生学习状况，设计出一种新型的发展性目标分析法，必须考虑到基础条件的差异，学生原有的学习基础，也注意到学生学习的进步因素。首先注意到题干中所给出的数据为学生四个学期的分数，

4、由于在实际中，如果单单注意绝对分数的话，由于试卷的难度的不同，会导致单纯通过题干给出的数据信息进行分析肯定是不准确的。 根据教育学与统计学的理论，一次难度适中信度可靠的考试，学生的成绩应接近正态分布。也就是说，当学生的成绩接近于正态分布时，说明此次考试基本达到了教学要求。判断成绩是否接近正态分布最直观，最有效的方法就是将成绩分布曲线与均值和方差相同的正态分布曲线加以比较。如果是负偏态分布，则说明试题总体难度偏高；如果是正偏态分布，则说明试题总体难度偏低；如果是陡峭型分布，则说明试卷中难度中等的度量占比重太大。这样首先做出所给数据中四个学期成绩的方差分析和原始成绩的统计分析，其中实线表示正态分布的曲线，直观的说明所给成绩为偏正态分布。这样我们的目标就变为构造一种变换使学生每个学期的成绩符合相同的正态分布曲线，这样也就能将试卷难度等影响消去，才能对所给的每个学期的成绩相互之间进行比较。方差分析：单因素方差分析SUMMARY组 观测数 求和 平均 方差学期1平均成绩 61244402.22252572.55265118590.251045421学期2平均成绩 61245516.6100847

5、4.373545888112.30517151学期3平均成绩 61244780.1982773.17025861181.238387361学期4平均成绩 61245938.57972175.063038759104.90480951方差分析差异源 SS df MS F P-value F crit组间2372.2741196 3790.758039888.1374760222.166326607E-052.6085441047组内237495.34183 244497.174853449总计239867.61595 2447其次对原始数据进行 SK 检验得：第一学期 第二学期 第三学期 第四学期Sk -1.236 -1.919 -1.944 -2.928Ku 2.5 7.043 8,142 14.479这样通过以上的分析，我们可以发现，直方图在标准正态分布曲线的右边，且 SkclearA=90B=80C=70D=60根据显示结果，表 2：综合素质评价9080707090809090809090为了更好的、全面的客观分析每一位同学的全方面的综合成绩，在把每位同学的综合素质评价转化为分数后

6、，为了得到更全面的学生评价，我们用下一种方法聚类分析法重新分析现有数据：聚类分析又称群分析、点群分析，是定量研究分类问题的一种多元统计方法。人类认识世界往往首先将被认识的对象进行分类，因此分类学便成为人类认识世界的基础科学。在社会生活的众多领域中都存在着大量的分类问题。以前人们主要靠经验和专业知识做定性分类处理，致使许多分类带有主观性和任意性，不能很好地揭示客观事物内在的本质差别与联系，特别是对于多因素、多指标的分类问题，定性分类更难以实现准确分类。聚类分析包括很多种方法，系统聚类法是最基本、最常用的一种，此外还有有序样品聚类法、动态聚类法、模糊聚类法、图论聚类法、聚类预报法等，不同的方法适合解决不同类型的问题，本文主要采用的是最常用的系统聚类法。聚类分析用于系统类群相似性的研究,其实质上是寻找一种能客观反映样品或变量之间亲疏关系的统计量，然后根据这种统计量把样品或变量分成若干类。常用的统计量有距离和相似系数。在距离中，我们主要使用间隔尺度：间隔尺度： 是用连续的实值变量来表示的，是由测量或计数、统计所得到的量。如：经济统计数字、抽样调查数据、身高、体重、年龄、速度、压力等。 不同类型

7、的变量，其距离和相似系数的定义方法有很大差异。用得较多的是间隔尺度，因此只采用间隔尺度的距离和相似系数的定义。N 位学生 p 学期形成形成的原始数据资料矩阵中，每一行表示一个学生，每一列表示一学期的成绩。因此，两个样品的相似性可用矩阵中两行的相似程度来刻划；两个变量的相似性可用矩阵中两列的相似程度来刻划1. 距离定义：将 n 个学生 看成 p 维空间中的 n 个点，两个学生间相似程度可用 p 维空间中两点的距离来度量。2612=, )(jijixL下面用 matlap 编程来求解functionsol,eval=fitness(sol,options)L=sol(1)eval=squ(x-y)2)initpop=initt=ializega(612,02,fitness,initpop1-612)maxgenterm612,normgeomselect,下面列举了学号在前的十位同学之间的相互距离：2 3 4 5 6 7 8 9 102 0 7.62 26.99 10.25 11.31 14.62 22.80 72.24 13.653 0 21.23 9.06 12.09 13.12 1

8、8.37 56.34 15.774 0 23.34 13.54 20.12 22.87 74.55 23.935 0 12.06 15.01 29.05 66.24 18.396 0 19.34 23.39 71.06 26.177 0 21.82 61.29 21.328 0 63.23 23.459 0 57.7110 0根据以上表格可以得出各个距离段的人数分布表以及条形图距离段 0101020204040100人数 2 129 441 40 通过以上分析我们了解到，距离集中在 20 到 40 之间的是比较多的，而在两端的人数明显很少，从中可以看出不及格的人数和成绩靠前的学生人数是很少的，成绩越是集中，就越能说明着说明了成绩分布比较稳定且集中在某个数附近，这正好和上文中中 SK 分析得到的结果一致，也就是陡峭度越来越大。从柱状图图中还可以看出，成绩的分布渐渐朝着高分发展，这与 SK 分析中 Sk 值渐渐减小也是相一致的。显然在这一步的分析中，造成这个结果的产生，可能因为试卷的原因，也可能是学生们通过学习进步的结果。计算出任何两个样品之间的距离排成距离阵 D，根据 D 可对 612

9、个学生进行分类，距离近的学生归为一类，距离远的学生归为不同的类2. 相似系数：将 n 个学生看成 p 维空间中的 n 个向量。（2） 相关系数对整个表格用 excel 函数进行计算其相关系数，可得如下表格：74.825 74.29 76.9874.825 174.29 0.687677 176.98 0.651139 0.774516 1以上是学生分类常用的距离和相似系数，它是在 p 维空间中来研究 n 个样品间的相似；而对变量分类是在 n 维空间中来研究 p 列变量间的相似，其相似性也用距离和相似系数来度量在实际问题中，对样品分类常用距离，对指标分类常用相似系数；用距离时找最小的元素并类，用相似系数时找最大的元素并类系统聚类分析也叫分层聚类分析，是目前国内外使用得最多的一种方法，有关它的研究极为丰富，聚类分析的方法也最多。 （1）计算 n 个样品两两之间的距离记为矩阵 D； （2） 首先构造 n 个类，每一类中只包含一个样品； （3） 合并距离最近的两类为新类； （4） 计算新类与当前类的距离，若类的个数已经等于 1，则转入 5，否则回到3； （5） 画谱系图；（6）决定类的个数和类。系统聚类允许一类整个地包含在另一类内，但在这两类间不能有其他类与之重叠样品之间可以用不同的方法定义距离，类与类之间的距离也有多种定义。用不同的方法定义类与类之间的距离，就产生了不同的系统聚类方法 （1）最短距离法：定义类与类之间距离为两类最近样品的距离，使空间浓缩，形成链状，分类效果不好； （2）最长距离法：定义类与类之间距离为两类最远样品的距离，受奇异值的影响大； （3）中间距离法：介于最长与最短距离之间的一种距离，当 =-1/4 时，即为三角形的中线，以它作为类与类间距离。 （4）重心法：以两类重心之间的距离作为两类间的距离。重心即该类样品的均值。每合并一次类，都要重新计算新类的重心。不具单调性，图形逆转，限制了其应用，可能引起局部最优，但在处理异常值方面较稳健 （5）类 平 均 法： 以两类元素两两之间距离平方的平均作为类间距离的平方。 （6 ）可变类平均法：与 5 相比，考虑了两类 G

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