抛物线的常见结论
8页1、抛物线的常见结论一、知识点总结1. 抛物线的弦长公式l1k 2 x1x21k 2 ?( x1x2 ) 24x1x2 ,其中 k是弦所在直线的斜率, x1 , x2 是交点的横坐标,本表达式不包含斜率不存在的情况。l1m2y1y21m2?( y1y2 ) 24 y1 y2,其中弦长所在直线方程为xmyb ,y1, y2 是交点的纵坐标,本表达式包含斜率不存在的情况。2. 抛物线的焦点弦CAOFDB对于抛物线,y22 px, p0 ,倾斜角为 的直线过抛物线的焦点,与抛物线交于A ,B 两点,过 A,B 做抛物线准线的垂线,垂足分别为C,D ,那么有: x1 x2p2, y1 y2p24y 22px得 y 2p2y1 y2p2由p2 pmy0 (),因此( y1 y2 ) 2p 2x my2x1x24 p24 焦点弦长ABx1x2p ,焦点弦长AB2Psin 2y1y2( y1y2 )24y1 y2,结合()式与m1得:ABsintansin2m24 p24 p24 p22 p11 2 pcos2sin 24 ptan2tan 2sin2sin 2ABsinsinsinsin2 p12 p
2、sin 2sinsin 2 112AFBFP11AFBF2P2p2 p2简单证明如下 :sin2y1y2y1 y2p2AFBFAF BFpsinsin 焦点三角形面积SP22sin简单证明如下:以AB 为底,以 O到 AB 的距离为高,该三角形面积课表示为:SAOB1 AB OF sin12 pp sinp222sin 222sin 焦点弦相关的几何关系:a. 以 AF/BF 为直径的圆与 y轴相切b.以 AB 为直径的圆与准线相切,切点与焦点连线垂直于AB.c. 以 CD 为直径的圆与 AB 相切d.A,B 在准线上的投影对F的张角为 90 ,CFD90e. 以 A,B 为切点分别做两条切线,两切线的交点在准线上;在准线上取一点做抛物线的切线,两切点所在直线一定经过抛物线的焦点。3. 经过 x轴上一点a, o 的直线与抛物线相交与两点A : x1 , y1 , B : x2 , y2,不论其斜率为何值, 都有 x1x2 a2 , y1 y22 pa 成立。特别地,当 a2 p 时, x1 x2 y1 y2a22 pa0 ,此时 OA? OB0,OAOB 。反之结论亦能成立,当OAOB
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