46立体几何-尺子法速证平行- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

1、专题8.1 立体几何-尺子法速证平行我们证明线平行于面的时候，有时候不能快速去得出是用平行四边形还是中位线去证明线性平行。1.尺子法:用尺子将要证明平行于另外一个面的线段，平移到平面内得到另外一条线段。如果两条线段长相等，则用平行四边形法则证明。如果一个线段为另一个线段的一半，则用中位线法则证明。用直尺比划将PB平移至平面AEC内可知，OE即为目标线，OE 明显与PB长度不同，可知要运用中位线，非平行四边形。(尺子法)2.A字形法则:也是和刚刚一样的，将要证明的线段平移到目标平面内，如果得到一个A字形，就是用中位线法则证明。两个模型：中位线模型:连接第三边，找另一中点，构造中位线。D,E为中点(相同二等分点)BC/D平行四边形模型:欲证AB/CD，先证ADBC【典例1】如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，E是PC的中点求证：PA平面BDE【典例2】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别为D1D，D1C，AB的中点（1）求证：D1B平面EAC；（2）求证：FG平面ADD1A1【典例3】在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BCAA14，AB5，D是AB的中点（

2、1）求证：AC1平面CDB1；（2）求异面直线AC1与B1C所成的角1如图，在四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，ABCD，CDA60，AB2AD2CD8，P为棱SA上的一点，且AP2PS4（1）证明：SC平面DPB；（2）求四棱锥SABCD的体积2如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，E为SD的中点（1）证明：SB平面ACE；（2）若SA平面ABCD，证明：SCBD3如图，在直三棱柱ABCABC中，ABAC，ABAC2，AA4，点M、N分别为AB和BC的中点（1）求异面直线CN与AB所成角的余弦值；（2）证明：MN平面AACC4如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，M是AC的中点（1）证明：AB1平面MBC1（2）若ABC是正三角形，AB2，BMMC1，求三棱柱ABCA1B1C1的表面积5P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图求证：（1）AE平面PCF；（2）平面PCF平面AEG6如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，N为CC1的中点（1）求证：BD1平面MAC；（2）求证：平面NBD1平面MAC7如图所示，在三棱柱

3、ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1C1，A1B1的中点，求证：（1）B1C1平面A1EF；（2）平面A1EF平面BCGH8如图所求，四棱锥PABCD，底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB中点（1）求证：PC平面BFD；（2）已知M点在PD上满足EC平面BFM，求的值9如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱BC，AD，PA的中点求证：PE平面BFG；10如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC交BD于点O，E是PD上一点且PB平面ACE（1）证明：E为PD的中点；（2）在线段PA上是否存在点F，使得平面OEF平面PBC，若存在，请给出点F的位置，并证明，若不存在，请说明理由11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：（1）EG平面BDD1B1；（2）平面EFG平面BDD1B112如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M求证：（1）PD平面ANC；（2）M是

4、PC中点13如图所示，底面为正方形的四棱锥PABCD中，AB2，PA4，PBPD2，AC与BD相交于点O，E为PD中点（1）求证：EO平面PBC；（2）PA上是否存在点F，使平面OEF平面PBC，若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由14如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABBC，D为AC的中点，AA1AB2，BC3（1）求三棱柱ABCA1B1C1的表面积；（2）求证：AB1平面BC1D15如图，在三棱柱BCFADE中，若G，H分别是线段AC，DF的中点（1）求证：GHBF；（2）在线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP平面BCF，若存在，指出P的具体位置并证明；若不存在，说明理由16正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点（1）求证：E、F、B、D共面；（2）求证：平面AMN平面EFDB17如图所示，B为ACD所在平面外一点，M，N，G分别为ABC，ABD，BCD的重心（1）求证：平面MNG平面ACD；（2）求SMNG：SADC18如图所示，在四棱锥CABED中，四边形ABED是平行

5、四边形，点G，F分别是线段EC，BD的中点（1）求证：GF平面ABC（2）H是线段BC的中点，证明：平面GFH平面ACD19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，AA1AB4，BC3（1）求三棱柱ABCA1B1C1的侧面积；（2）设D为AC的中点，求证：AB1平面BC1D20如图，在三棱锥PABC中，已知PAPBACBC4，且APB60，E、F分别为AP、AC的中点（1）证明：PC平面EBF；（2）求异面直线PC与EB所成角的余弦值21如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，P为A1B的中点，Q为B1C的中点，A1BB1C求证：（1）PQ平面A1B1C1；（2）BCCC122如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N，P分别为AB，BC，B1C1的中点（1）求证：AC平面B1MN；（2）求证：平面ACP平面B1MN23如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE平面CDEFEF（1）证明：AF平面BDG；（2）证明：ABEF24如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点（1）求证：AF平

6、面A1C1E；（2）求异面直线A1C与AF所成角的余弦值 专题8.1 立体几何-尺子法速证平行我们证明线平行于面的时候，有时候不能快速去得出是用平行四边形还是中位线去证明线性平行。1.尺子法:用尺子将要证明平行于另外一个面的线段，平移到平面内得到另外一条线段。如果两条线段长相等，则用平行四边形法则证明。如果一个线段为另一个线段的一半，则用中位线法则证明。用直尺比划将PB平移至平面AEC内可知，OE即为目标线，OE 明显与PB长度不同，可知要运用中位线，非平行四边形。(尺子法)2.A字形法则:也是和刚刚一样的，将要证明的线段平移到目标平面内，如果得到一个A字形，就是用中位线法则证明。两个模型：中位线模型:连接第三边，找另一中点，构造中位线。D,E为中点(相同二等分点)BC/D平行四边形模型:欲证AB/CD，先证ADBC【典例1】如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，E是PC的中点求证：PA平面BDE【答案】证明过程请看解答【解答】证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，四边形ABCD为平行四边形，O为AC的中点，E是PC的中点，OEPA，又OE平面BDE，PA平面BDE，PA平面

7、BDE【典例2】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别为D1D，D1C，AB的中点（1）求证：D1B平面EAC；（2）求证：FG平面ADD1A1【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解【解答】证明：（1）连接BD交AC于O，连接EF，FG，OE，在正方体中，E，F，G分别为D1D，D1C，AB中点，可得OEBD1，而OE平面AEC，BD1平面AEC，所以D1B平面EAC；（2）因为FGCD，且EFCD，CDAB，CDAB，AGAB，所以EFGC，EFAG，所以四边形AGFE为平行四边形，所以AEFG，而AE平面ADD1A，FG平面ADD1A，所以FG平面ADD1A【典例3】在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BCAA14，AB5，D是AB的中点（1）求证：AC1平面CDB1；（2）求异面直线AC1与B1C所成的角【答案】（1）证明见解析；（2）【解答】解：（1）证明：设C1B与B1C的交点为E，连接DE，因为ABCA1B1C1为直三棱柱，且BCAA14，则四边形BCC1B1为正方形，所以E为BC1的中点，又D是AB的中点，所以DEAC1，又因为DE平面CD

8、B1，AC1平面CDB1，所以AC1平面CDB1，得证；（2）由（1）可知，DEAC1，所以CED为直线AC1与B1C所成的角（或其补角），在CDE中，由余弦定理可得，则，即异面直线AC1与B1C所成的角为1如图，在四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，ABCD，CDA60，AB2AD2CD8，P为棱SA上的一点，且AP2PS4（1）证明：SC平面DPB；（2）求四棱锥SABCD的体积【答案】（1）证明见解析；（2）【解答】解：（1）连接AC交DB于点O，连接OP在底面ABCD中，ABCD，AB2CD，ABOCDO，AP2PS，即，在CAS中，OPCS，OP平面DPB，SC平面DPB，SC平面DPB（2）取CD的中点H，连接AH，由CDA60，ADCD，得ADC为等边三角形，AHCD在等边ADC中，ADCDAC4，2如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，E为SD的中点（1）证明：SB平面ACE；（2）若SA平面ABCD，证明：SCBD【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）连接BD，交AC于点O，连接OE，因为底面ABCD是正方形，所以点O是BD的中点，又E为SD的中点，所以OESB，因为OE平面ACE，SB平面ACE，所以SB平面ACE（2）因为SA平面ABCD，BD平面ABCD，所以SABD，因为底面ABCD是正方形，所以ACBD，又SAACA，SA、AC平面SAC，所以BD平面SAC，因为SC平面SAC，所以SCBD3如图，在直三棱柱ABCABC中，ABA

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