37 空间中的五种距离问题- -2023-2024学年高一数学-第8章 立体几何初步（人教A版2019必修第二册）

1、重难点专题15 空间中的五种距离问题【题型归纳目录】题型一：点线距题型二：异面直线的距离题型三：点面距题型四：线面距题型五：面面距【方法技巧与总结】空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解【典型例题】题型一：点线距【典例1-1】已知正方体的棱长为1，则点B到直线的距离为_【典例1-2】（2024高二山东济南期末）如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P为直线DE上的动点，则P到直线AB距离的最小值为（）ABCD【变式1-1】（2024高二重庆期中）如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（）ABCD题型二：异面直线的距离【典例2-1】（2024高二上海杨浦期中）如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，异面直线与之间的距离为 .【典例2-2】（2024高二上海浦东新期末）在棱长为1的正方体中，直线AC与直线的距离是 【变式2-1】（2024高三全国专题练习）如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，高(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求异面直线与的距离题型三：点面距【典例3-1】（2024高一全

2、国专题练习）如图，在边长为的菱形中，点分别是边的中点，.沿将翻折到的位置，连接，得到如图所示的五棱锥(1)在翻折过程中是否总有平面平面?证明你的结论；(2)在翻折过程中当四棱锥的体积最大时，求此时点到平面的距离；【典例3-2】（2024四川一模）如图，在四棱锥中，平面平面(1)证明：平面；(2)已知，且，求点D到平面的距离【变式3-1】（2024高三河南期末）在平面四边形中，点为的靠近的三等分点，将沿折起，使得平面平面，已知点在线段上，且满足，点为的中点.(1)证明：平面；(2)若为的中点，求点到平面的距离.题型四：线面距【典例4-1】（2024高二上海杨浦期中）如图,为菱形外一点,平面,为棱的中点.(1)求证:平面;(2)若,求到平面的距离.【典例4-2】（2024高一全国课后作业）设正方体的棱长是2，求棱和平面的距离【变式4-1】（2024高二重庆巫山期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，PD的中点为F.(1)求证：平面；(2)求直线到面的距离.题型五：面面距【典例5-1】（2024河南二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面间

3、的距离.【典例5-2】（2024高一广东揭阳期末）如图在直三棱柱中，E是上的一点，且，D、F、G分别是、的中点，与相交于(1)求证：平面；(2)求平面与平面的距离【变式5-1】（2024高一福建厦门期末）如图，棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得/平面BDF.(1)作出截正方体ABCD - A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；(2)求平面与平面的距离.【过关测试】1（2024高三全国专题练习）如图，在三棱锥中，平面，.求点B到平面PAC的距离； 2（2024全国模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，点在线段上，.(1)求证：(2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由3（2024高二云南曲靖开学考试）如图，在梯形ABCD中，平面ABCD，且，点F在AD上，且(1)求点A到平面PCF的距离；(2)求AD到平面PBC的距离4（2024高一湖南课后作业）如图，在几何体中，平面ABC，平面ABC，(1)求证：平面ABE；(2)求直线DC与平面ABE的距离5（20

4、24高一山东济宁期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面之间的距离.6（2024高三全国专题练习）单位正方体中，分别是它们所在棱的中点，求与间的距离重难点专题15 空间中的五种距离问题【题型归纳目录】题型一：点线距题型二：异面直线的距离题型三：点面距题型四：线面距题型五：面面距【方法技巧与总结】空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解【典型例题】题型一：点线距【典例1-1】已知正方体的棱长为1，则点B到直线的距离为_【答案】【解析】如图，连接，过B作，则即为点B到直线的距离，在正方体中，平面，在直角中，且，所以 ，点B到直线的距离为.故答案为：.【典例1-2】（2024高二山东济南期末）如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P为直线DE上的动点，则P到直线AB距离的最小值为（）ABCD【答案】B【解析】把平面展开图还原为空间八面体，如图所示：由题意，P到直线AB距离的最小值即直线到直线的距离，又/，平面，平面，故/平面.又，故四边形为菱形，则/.平面，平面，故/平面.又，平

5、面，故平面/平面.故直线到直线的距离为平面到平面的距离.则到平面的距离即为P到直线AB距离的最小值.设与交于，则易得为正四棱锥中心.则，故为直角三角形，故.设到平面的距离为，则由，故，故，解得. 故选：B【变式1-1】（2024高二重庆期中）如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（）ABCD【答案】B【解析】如图所示，取的中点F，连接，底面，四边形是矩形，又平面，平面，平面，直线上任一点到平面的距离是两条异面直线与的距离，过点作，平面平面，平面平面，平面，平面，过点M作交于点P，则，取，连接，则四边形是矩形可得平面，在中，得，点P到直线的距离的最小值为故选：B题型二：异面直线的距离【典例2-1】（2024高二上海杨浦期中）如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，异面直线与之间的距离为 .【答案】【解析】因为平面，所以，所以，所以，因为因此我们将四棱锥构建成长方体.接下来我们寻找异面直线的公垂线在平面上的投影为，易证平面，故得，连接，与相交于，则为的中点，作的中点，连接，则，所以是的公垂线段，即的长度就是异面直线与之间的距离.且，故答案为：.【典例2

6、-2】（2024高二上海浦东新期末）在棱长为1的正方体中，直线AC与直线的距离是 【答案】1【解析】如图，取AC与的中点，因为,为的中点，则，同理，所以直线AC与直线的距离为线段长，又，所以直线AC与直线的距离为1.故答案为：1.【变式2-1】（2024高三全国专题练习）如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，高(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求异面直线与的距离【解析】（1）连接，如图所示：在正四棱柱中，因,且，则四边形是平行四边形，故得，则异面直线与所成角为或其补角，设，因则，异面直线与所成角的余弦值为（2）连接，过作，垂足为，如图所示：在正四棱柱中，平面，平面，则,故是异面直线与的公垂线，在中，由，即，故异面直线与的距离为题型三：点面距【典例3-1】（2024高一全国专题练习）如图，在边长为的菱形中，点分别是边的中点，.沿将翻折到的位置，连接，得到如图所示的五棱锥(1)在翻折过程中是否总有平面平面?证明你的结论；(2)在翻折过程中当四棱锥的体积最大时，求此时点到平面的距离；【解析】（1）证明：在翻折过程中总有平面平面；证明如下：点分别是边的中点，菱形中，是等边三角形，是的中点，

7、；菱形的对角线互相垂直，；，平面，平面，平面，平面，平面平面.（2）要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，当平面时，点到平面的距离最大为，又，；，设点到平面的距离为，解得：，即点到平面的距离为.【典例3-2】（2024四川一模）如图，在四棱锥中，平面平面(1)证明：平面；(2)已知，且，求点D到平面的距离【解析】（1）因为平面平面，平面平面，且， 平面，所以平面，又因为，所以平面（2）由（1）可知，平面，且平面，所以平面平面，过作直线的垂线，垂足为，则平面，由，可得，因为平面，平面，所以，则，可得，在直角梯形中，因为，可得，所以，在等腰中，取的中点，连接，可得，且，所以，设点到平面的距离为，由，可得，解得，所以点到平面的距离为【变式3-1】（2024高三河南期末）在平面四边形中，点为的靠近的三等分点，将沿折起，使得平面平面，已知点在线段上，且满足，点为的中点.(1)证明：平面；(2)若为的中点，求点到平面的距离.【解析】（1）证明：因为，所以四边形为平行四边形，因为，所以四边形为矩形，得，在折起后，因为平面平面，平面平面，平面,所以平面，因为平面，所以，因为，所以，因为点在线段上，且满足，点为的中点，所以，,因为，所以，即.因为平面，平面，所以平面.（2）取的中点，连接，MN，FN，则，所以平面，为三棱锥的高，又，所以，所以，所以，设点到平面的距离为，由得，解得，即点到平面的距离为.题型四：线面距【典例4-1】（2024高二上海杨浦期中）如图,为菱形外一点,平面,为棱的中点.(1)求证:平面;(2)若,求到平面的距离.【解析】（1）连接,如图:因为,四边形为菱形,所以,又为棱的中点,所以,因为,所以,因为平面,平面,所以,又平面,平面,所以平面.（2）因为平面,平面,所以平面,则到平面的距离即为点到平面的距离,设点到平面的距离为,因为,平面,四边形为菱形,所以,解得,即到平面的距离为.【典例4-2】（2024高一全国课后作业）设正方体的棱长是2，求棱和平面的距离【解析】连接BD、AC，为正方体，四边形ABCD为正方形，

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