常微分方程数值解
11页1、数学与计算科学学院实 验 报 告实验项目名称 常微分方程数值解 所属课程名称 微分方程数值解法 实 验 类 型 验证 实 验 日 期 班 级 学 号 姓 名 成 绩 一、实验概述:【实验目的】掌握求解常微分方程的欧拉法,Runge-Kutta方法(二阶的预估校正法,经典的四阶R-K法)【实验原理】1,欧拉法的格式如下: 其中n从0开始取值,为微分方程中的dy/dx的值,而是我们根据题目设定的初值。2,预估校正法格式如下: 其中第一个式子为预报格式,第二个式子为校正格式,第三个式子也是给定的初值。3,经典四阶Runge-Kutta格式,亦即R-K法格式如下:【实验环境】Microsoft Visual C+6.0二、实验内容:【实验方案】用欧拉法,预估校正法, 经典的四阶龙格库塔方法求解初值问题 dy/dx=,初值y(0)=1; 将计算结果与精确解为比较在区间0,1上分别取步长h=0.1; 0.05时进行计算。对三个算法的收敛性进行分析比较,【实验过程】(实验步骤、记录、数据、分析)1,部分算法代码:(1)欧拉算法代码void ruler(double xn+1,double yn+1,
2、double h)/欧拉法 int j;for(j=0;jn;j+) yj+1=yj+h*f(xj,yj); (2)预步校正法代码void yugu_jz(double xn+1,double yn+1,double h)/预估校正法double yyn+12;int j;yy01=y0; for(j=0;jn;j+) yyj+10=yyj1+h*f(xj,yyj1); yyj+11=yyj1+h/2*(f(xj,yyj1)+f(xj,yyj+10);/预估校正法的解 yj+1=yyj+11; (3)Runge_Kutta法代码void Runge_Kutta(double xn+1,double yn+1,double h)/Runge_Kutta法double k1,k2,k3,k4;int i;for(i=0;in;i+)k1=f(xi,yi);k2=f(xi+h/2,yi+h/2*k1);k3=f(xi+h/2,yi+h/2*k2);k4=f(xi+h,yi+h*k3);yi+1=yi+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);(4)目标函数及解析解double f(doub
3、le a,double b)/目标函数double fun;fun=a*exp(-a)-b;return fun;void precise(double xn+1,double yn+1)/精确解int j;for(j=0;jn;j+) yj+1=(pow(xj+1,2)+2)*exp(-xj+1)/2; 2,结果分析:根据下面的实验结果,可以得出:当步长取0.1时,三种算法收敛性的关系为:欧拉法预步校正法Runge_Kutta法,相应的预步校正法精确度为普遍在,略高于欧拉法,Runge_Kutta法的精确度达到,远远优于欧拉法和预步校正法。当步长取0.05时,三种算法收敛性的关系不变,但三种方法的精确度均有提高,相对于步长0.1时,Runge_Kutta法收敛速度高于另外两种,可得其误差项阶数高于欧拉法和预步校正法,即结果均与理论相符。【实验结论】(结果)当步长为0.1时,结果及误差如下:当步长为0.05时,结果及误差如下:【实验小结】(收获体会) 通过本次实验,我熟悉了欧拉法,预步校正法以及Runge_Kutta法的算法思想,还有它们之间的收敛性差异,精确度差异,同时对也提高了自己
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