二次函数动点问题(提高篇)

1、word数学压轴题 二次函数动点问题1.如图，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A(3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，)当x4和x2时，二次函数yax2bxc(a0)的函数值y相等，连结AC、BC1某某数a，b，c的值；2假如点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连结MN，将BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值与点P的坐标；3在2的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与ABC相似？假如存在，请求出点Q的坐标；假如不存在，请说明理由解：1由题意得 解得a，b，c2由1知yx2x，令y0，得x2x0解得x13，x21A(3，0)，B(1，0)又C(0，)，OA3，OB1，OC，AB4，BC2tanACO，ACO60，CAO30同理，可求得CBO60，BCO30，ACB90ABC是直角三角形又BMBNt，BMN是等边三角形BNM60，PNM60，PNC60RtPNCRtABC，由题意知PNBNt，NCBCBN2t，tOMBMOB1如图1

2、，过点P作PHx轴于H，如此PHPMsin60MHPMcos60OHOMMH1点P的坐标为(1，)3存在由2知ABC是直角三角形，假如BNQ与ABC相似，如此BNQ也是直角三角形二次函数yx2x的图象的对称轴为x1点P在对称轴上PNx轴，PN对称轴又QNPN，PNBN，QNBNBNQ不存在以点Q为直角顶点的情形如图2，过点N作QN对称轴于Q，连结BQ，如此BNQ是以点N为直角顶点的直角三角形，且QNPN，MNQ30PNQ30，QNtan60，当BNQ以点N为直角顶点时，BNQ与ABC不相似如图3，延长NM交对称轴于点Q，连结BQ，如此BMQ120AMP60，AMQBMN60，PMQ120BMQPMQ，又PMBM，QMQMBMQPMQ，BQMPQM30BNM60，QBN90CAO30，ACB90BNQABC当BNQ以点B为直角顶点时，BNQABC设对称轴与x轴的交点为DDMQDMP60，DMDM，RtDMQRtDMPDQPD，点Q与点P关于x轴对称点Q的坐标为(1，)综合得，在抛物线的对称轴上存在点Q(1，)，使得以B，N，Q为顶点的三角形与ABC相似，抛物线yax2bx3a0与x轴交于

3、点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C1求抛物线的解析式；2设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？假如存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；假如不存在，请说明理由；3如图，假如点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标解：1由题意得解得所求抛物线的解析式为yx22x3；2存在符合条件的点P，其坐标为P(1，)或P(1，)或P(1，6)或P(1，)；3解法一：过点E作EFx轴于点F，设E(m，m22m3)3a0如此EFm22m3，BFm3，OFmS四边形BOCESBEF S梯形FOCEBFEF(EFOC)OF(m3)(m22m3)(m22m6)(m)m2m(m)2当m时，S四边形BOCE最大，且最大值为此时y()22()3此时E点的坐标为(，)解法二：过点E作EFx轴于点F，设E(x，y)3x0如此S四边形BOCESBEF S梯形FOCEBFEF(EFOC)OF(3x)y(3y)(x)(yx)(x23x3)(x)2当x时，S四边形BOCE最大，且最大值为此时y()22()3此时E点的

4、坐标为(，)3.如图，抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长OAOC是方程x25x40的两个根，且抛物线的对称轴是直线x11求A、B、C三点的坐标；2求此抛物线的解析式；3假如点D是线段AB上的一个动点与点A、B不重合，过点D作DEBC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值X围S是否存在最大值？假如存在，求出最大值并求此时D点坐标；假如不存在，请说明理由解：1OA、OC的长是方程x25x40的两个根，OAOCOA1，OC4点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴A1，0，C0，4抛物线yax2bxc的对称轴为x1由对称性可得B点坐标为3，0A、B、C三点的坐标分别是：A1，0，B3，0，C0，42点C0，4在抛物线yax2bxc图象上，c44分将A1，0，B3，0代入yax2bx4得解得此抛物线的解析式为yx2x43BDm，AD4m在RtBOC中，BC2OB2OC2324225，BC5DEBC，ADEABC，即DE过点E作EFAB于点F，如此s

5、inEDFsinCBA，EFDE4mSSCDE SADC SADE(4m)4(4m)(4m)m22m(m2)220m40 当m2时，S有最大值2此时ODOBBD321此时D点坐标为1，04.如图，抛物线ya(x3)(x1)与x轴相交于A、B两点点A在点B右侧，过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为(2，6)1求a的值与直线AC的函数关系式；2P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N求线段PM长度的最大值；在抛物线上是否存在这样的点M，使得CMP与APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标不必写解答过程；如果不存在，请说明理由解：1由题意得6a(23)(21)，a2抛物线的解析式为y2(x3)(x1)，即y2x24x6令2(x3)(x1)0，得x13，x21点A在点B右侧，A(1，0)，B(3，0)设直线AC的函数关系式为ykxb，把A(1，0)、C(2，6)代入，得 解得直线AC的函数关系式为y2x22设P点的横坐标为m(2m1)，如此P(m，2m2)，M(m，2m24m6)PM2m24m6(2m2)2m22m42(m)2当m时，线段PM长度的最大值为存在. M1(0，6),M2(，)如图1，当M为直角顶点时，连结CM，如此CMPM，CMPANP点C(2，6)，点M的纵坐标为6，代入y2x24x6得2x24x66，x2舍去或x0M1(0，6)此时点M在y轴上，即抛物线与y轴的交点，此时直线MN与y轴重合，点N与原点O重合)如图2，当C为直角顶点时，设M(m，2m24m6)(2m1)过C作CHMN于H，连结CM，设直线AC与y轴相交于点D如此CMPNAP又HMCCMP，NAPOAD，HMCOADC(2，6)，CHm2，MH2m24m662m24m在y2x2中，令x0，得y2D(0，2)，OD2整理得4m29m20，解得m2舍去或m当m时，2m24m6()24()6M2(，)文案大全

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