数学与应用数学毕业论文矩阵 的可交换空间 的多项式表示的等价条件
14页1、张清新 矩阵的可交换空间的多项式表示的等价条件矩阵的可交换空间的多项式表示的等价条件张清新(数学与应用数学系 指导老师:杨忠鹏)摘要:钱微微文章钱微微,蔡耀志.论矩阵可交换的充要条件.大学数学,2007,23(5)给出了与给定矩阵可交换的矩阵可表示为的多项式的充要条件。本文指出这个结果是错误的,并分析了产生错误原因,利用已有文献结论,本文把与给定矩阵可交换的矩阵可表示为的多项式构同为9个等价条件。关键词:矩阵可交换 标准型 块 多项式Abstract: The article of Weiwei QianWeiwei Qian,Yaozhi Cai. A Discussion of Necessary and Sufficient Conditions for the Exchange Matrix.2007,23(5) gives the necessary and sufficent conditions that the exchange matrix with a given matrix can be expressed as polynomial.This paper po
2、ints out that the result of the above article is wrong,and analysis the cause of the errors.Through the conclusions of the existed,the paper make the exchange matrix with a given matrix can be expressed as polinomial conformate with nine equivalent conditions.Keyword: Exchangeable matrix Jordan standard Jordan block Polynomial0 符号说明 多项式的次数 空间的维数 复数域上行列矩阵全体 矩阵的最小多项式 矩阵的特征多项式 矩阵的可交换空间 矩阵的多项式空间 阶特征值为的块1 引言 矩阵可交换是代数中相当重要的内容,矩阵运算与普通数域的代数运算有很大的差别,最为重要的差别就是矩阵运算一般不满足交换律。若两矩阵满足,则就具有重要的性质,如同时可上三角化(见文献2)。由
3、于它的重要性,引起了一系列的问题,近年来,越来越多的学者和专家开始从事对矩阵交换的性质和可交换条件的研究.大家可以发现数量阵是与一切矩阵可交换,任意矩阵都与其多项式矩阵可交换。在文献1中,作者研究了命题任意矩阵都与其多项式矩阵可交换的逆命题,其主要结论为:一个矩阵化为约当标准型 后,若中没有纯量矩阵的约当块,那么与可交换的矩阵其充要条件为是的次多项式:本文首先举例说明钱微微文章中主要结论的错误,并从理论上证明其错误,然后从矩阵的内部结构 标准型出发,讨论矩阵为什么情况时,给出并证明了与等价的八个命题。定义1.1(见文献3) 一个矩阵称为非减次矩阵,是指的每个特征值的几何重数为1 定义1.2 阶矩阵的可交换空间定义1.3 阶矩阵的多项式空间定义1.4 (见文献4) 形式为的矩阵称为块,其中是复数。 2 关于钱微微文章的讨论 2.1 钱微微文章的主要结论钱微微文章先对块进行分类,在标准型中的块有三种类型:1),互不相同且都是的特征值。2),为任意实数,它也是的特征值,而且是多重根。3),为任意实数,它也是的重特征值。在此分类基础上文献1给出了以下命题:命题1(见文献1定理2) 一个矩阵化为
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