数列求和的七种基本方法
8页1、-数列求和的七种基本方法甘志国部分容(已发表于 数理天地(高中),2014(11):14-15)数列求和是数列问题中的基本题型,但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点,本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法.1 运用公式法很多数列的前项和的求法,就是套等差、等比数列的公式,因此以下常用公式应当熟记:还要记住一些正整数的幂和公式:例1 已知数列的前项和,求数列的前项和.解 由,可得,,所以:(1)当时,=.(2)当时,所以 例2 求.解 设,本题即求数列的前项和.高考题1 (2014年高考卷文科第19题(部分)求数列的前项和.答案:.高考题2 (2014年高考卷理科第19题(部分)求数列的前项和.答案:.高考题3 (2014年高考卷文科第17题)在等比数列中,.(1)求;(2)设,求数列的前项和.答案:(1);(2).高考题4 (2014年高考卷文科第16题)已知是首项为1,公差为2的等差数列,表示的前项和.(1)求及;(2)设是首项为2的等比数列,公比满足,求的通 项公式及其前项和.答案:(1);(2).2 倒序相加法事实上,等
2、差数列的前项和的公式推导方法就是倒序相加法.例3 求正整数与之间的分母为3的所有既约分数的和.解 显然,这些既约分数为:有 也有 所以 例4 设,求和.解 可先证得,由此结论用倒序相加法可求得答案为.3 裂项相消法例5 若是各项均不为0的等差数列,求证:.证明 设等差数列的公差为:若,要证结论显然成立;若,得例8 证明且. 证明 高考题5 (2014年高考全国大纲卷理科第18题)等差数列的前项和为,已知,为整数,且.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和.答案:(1);(2).高考题6 (2014年高考卷文科第19题)设各项均为正数的数列的前项和为,且满足.(1)求的值;(2)求数列的通项公式;(3)证明:对一切正整数,有.答案:(1);(2);(3)当时,可得欲证成立.当时,再用裂项相消法可得欲证.高考题7 (2014年高考卷理科第19题)已知等差数列的公差为2,前项和为,且,成等比数列. (1)求数列的通项公式;(2)令=求数列的前项和.答案:(1),.4 分组求和法例9 求.解 设,得.所以本题即求数列的前项和:例10 设数列的前项和满足,又,求数列的前项和.解 在中,令可
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