数列求和的七种基本方法

-数列求和的七种基本方法甘志国部分容(已发表于 数理天地(高中)，2014(11)：14-15)数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法.1 运用公式法很多数列的前项和的求法，就是套等差、等比数列的公式，因此以下常用公式应当熟记：还要记住一些正整数的幂和公式：例1 已知数列的前项和，求数列的前项和.解 由,可得,，所以：(1)当时,=.(2)当时，所以 例2 求.解 设，本题即求数列的前项和.高考题1 (2014年高考卷文科第19题(部分)求数列的前项和.答案：.高考题2 (2014年高考卷理科第19题(部分)求数列的前项和.答案：.高考题3 (2014年高考卷文科第17题)在等比数列中，.(1)求；(2)设，求数列的前项和.答案：(1)；(2).高考题4 (2014年高考卷文科第16题)已知是首项为1，公差为2的等差数列，表示的前项和.(1)求及；(2)设是首项为2的等比数列，公比满足，求的通 项公式及其前项和.答案：(1)；(2).2 倒序相加法事实上，等差数列的前项和的公式推导方法就是倒序相加法.例3 求正整数与之间的分母为3的所有既约分数的和.解 显然，这些既约分数为：有 也有 所以 例4 设，求和.解 可先证得，由此结论用倒序相加法可求得答案为.3 裂项相消法例5 若是各项均不为0的等差数列，求证：.证明 设等差数列的公差为：若，要证结论显然成立；若，得例8 证明且. 证明 高考题5 (2014年高考全国大纲卷理科第18题)等差数列的前项和为，已知，为整数，且.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.答案：(1)；(2).高考题6 (2014年高考卷文科第19题)设各项均为正数的数列的前项和为，且满足.(1)求的值；(2)求数列的通项公式；(3)证明：对一切正整数，有.答案：(1)；(2)；(3)当时，可得欲证成立.当时，再用裂项相消法可得欲证.高考题7 (2014年高考卷理科第19题)已知等差数列的公差为2，前项和为，且，成等比数列. (1)求数列的通项公式；(2)令=求数列的前项和.答案：(1)，.4 分组求和法例9 求.解 设，得.所以本题即求数列的前项和：例10 设数列的前项和满足，又，求数列的前项和.解 在中，令可求得.还可得相减，得所以是首项为1公差为2的等差数列，得所以 当为偶数时，当为奇数时，总之，.高考题8 (2014年高考卷文科第15题)已知是等差数列，满足，数列满足，且是等比数列. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和.答案：(1)；(2).高考题9 (2014年高考卷文科第19题)在等差数列中，已知公差，是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，记，求.答案：(1)，.高考题10 (2014年高考卷理科第19题(部分)求数列的前项和.答案：.5 错位相减法高考题11 (2014年高考卷理科第17题)已知首项都是1的两个数列N*)满足.(1)令，求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和.解 (1).(2)得.先写出的表达式： 把此式两边都乘以公比3，得-，得 由等比数列的前项和公式，得因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错：(1)等式右边前项的符号都是“+”，但最后一项是“”；(2)当等式右边的前项不组成等比数列时，须把第一项作微调，变成等比数列(即等式)，这增加了难度；(3)等式中最后一步的变形(即合并)有难度.但这种方法(即错位相减法)又是基本方法且程序法，所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频频出现就不足为怪了.考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握，争取拿到满分.这里笔者再给出一个小技巧检验：算得了的表达式后，一定要抽出万忙的时间检验一下是否正确，若它们均正确，一般来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查(重点是检查容易出错的三点)或重算.对于本题，已经算出了，所以.而由通项公式可知，所以求出的答案正确.高考题12 (2014年高考课标全国卷I文科第17题)已知是递增的等差数列，是方程的根. (1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.答案：(1).(2)用错位相减法可求得答案为. 高考题13 (2014年高考卷文科第18题)数列满足N*.(1)证明：数列是等差数列；(2)设，求数列的前项和.答案：(1)略.(2)由(1)可求得，所以，再用错位相减法可求得. 高考题14 (2014年高考卷文科第19题)设等差数列的公差为，点在函数的图象上N*). (1)证明：数列为等比数列；(2)若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.答案：(1)略.(2)可求得，所以，再用错位相减法可求得. 高考题15 (2014年高考卷理科第19题)设等差数列的公差为，点在函数的图象上N*).(1)若，点在函数的图象上，求数列的前项和；(2)若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.答案：(1).(2)可求得，所以，再用错位相减法可求得答案为.6 待定系数法例11 数列的前项和.解 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，得 先用错位相减法求数列的前项和：所以有下面的结论成立：若分别是等差数列、等比数列(其公比)，且均是与无关的常数，则数列的前项和，其中是与无关的常数.由此结论就可以用待定系数法快速求解本题：可设(其中是常数).可得，所以，解得，所以.例12 求和.解 得.用待定系数法可求出该等式的右边为，所以.七、求导法、积分法例13 (1)求证：；(2)求证：；(3)求数列的前项和(此即例6).解 (1)当时，显然成立.当时，由等比数列的前项和公式知，欲证结论也成立.(2)视(1)的结论为两个函数相等，两边求导后即得欲证成立.(3).由(2)的结论中令，得数列的前项和为；又数列的前项和为.所以数列的前项和为高考题16 (2008年高考卷第23题)请先阅读：在等式R)的两边对*求导，得.由求导法则，得，化简后得等式.(1)利用上题的想法(或其他方法)，试由等式R，整数证明：.(2)对于整数，求证：(i)； (ii)； (iii).答案：(1)在已知等式两边对求导后移项可得欲证.(2) (i)在结论(1)中令可证.(ii)由已知等式两边对求导后再求导，又令，得，即，再由结论(i)得结论(ii)成立.(iii)在已知等式两边在0,1上对积分后可得欲证. z.