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证明根号2是无理数的八种方法

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1、怎样证明2 是一个无理数2 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价后世的数学史家所说的“第一次数学危机 ”盖源于此 .风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2 的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证 .换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳 ”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味 .我们准备从不同的角度来证明2 是一个无理数，从而体会这一点 .证法 1：尾数证明法 .假设 2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2= a .b其中 (a,b)=1，且 a 与 b 都是正整数 .则a22由于完全平方数2的尾数只能是、、、、2b .b01456、 9 中的一个，因此 2b2 的尾数只能是0、2、8中的一个 .因为 a 22b2 ，所以 a2与 2b 2 的尾数都是 0，因此 b2的尾数只能是 0，因此a 与 b 有公因数 5，与 (a,b)=1 矛盾！因此2 是或 5无理数 .这个证法可以证明被开方数的尾数是2、 3、7、8 的平方根都是无理数 .证法 2：奇偶分析

2、法 .假设a其中，且与都是正整数则 a22b2可知2=b.(a,b)=1ab.a是偶数，设 a=2c,则 4c 22b 2 ，b 22c 2 ，可知b也是偶数，因此、都是偶数，这与(a,b)=1ab矛盾！因此2 是无理数 .希帕索斯就是用这种方法证明了2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的 “万物皆数 (任何数都可表示成整数之比 ) ”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底 .证法 3：仿上，得到 a22b2 ，易见，否则，则2 =a是一个整数这是不行的.b1b=1,a 22b 2 改写成 b2 a a因为，因此b有素因子，因此p整除 a 或 a，总之，p 整除 a，2.b1p2因此 p 同时整除 a 与 b，这与 (a,b)=1 矛盾 .证法 4：仿上，得到a22b2 ，等式变形为b2a2b2(a b)( a b)，因为，因此b1，或 a-b之一，则同时整除 a+b 与 a-b，因此 p 整除 a，因此 p 是 a、存在素因子 p p 整除 a+bb 的公因数，与 (a,b)=1 矛盾 .证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正

3、整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此 ap1r1p2r2pm rm ，bq1s1 q2s2qn sn ，其中 p1 , pm 与 q1 , qn都是素数， r1 , rm 与 s1 ,sn 都是正整数，因此 p12r1 p22 r2pm2rm =2 q12s1 q22 s2qn2 sn ，素数 2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数 .证法 6：假设2 = a ，其中右边是最简分数，即在所有等于 a 的分数中， a 是最小的正整bb数分子，在 a 22b 2 的两边减去 ab 有 a 2ab2b 2ab ， a( ab) b(2ba) ，即2a2ba ，右边的分子 2b-aa，这与 a 是最小的分子矛盾，因此2 是无理数 .bab证法 7：连分数法 .因为 ( 21)( 21) =1，因此2 111，2211，将分母中的2 用 11211，不断重复这个1代替，有1122212过程，得 2 =11，这是一个无限连分数而任何有理数都可以表示为分子都是11.2122分母为正整数的有限连分数，因此2 是无理数 .证法 8：构图法。以上诸多证法的关键之处在于，证明a22b 2 没有正整数解。若不然，、a 为边构造正方形 (ba ),因为 a22b2，因此图中空白部分的面积等于中间黑色阴影可以 b部分的面积，它们都是正方形，这就找到了一组更小的正整数(a,b)满足 a 22b2 ，无穷递降下去，这个过程可以无限进行，矛盾！

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