证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明2 是一个无理数2 是一个非常著名的无理数， 第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价 后世的数学史家所说的“第一次数学危机 ”盖源于此 .风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2 的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证 .换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳 ”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味 .我们准备从不同的角度来证明2 是一个无理数，从而体会这一点 .证法 1：尾数证明法 .假设 2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2= a .b其中 (a,b)=1，且 a 与 b 都是正整数 .则a22由于完全平方数2的尾数只能是、 、 、 、2b .b01456、 9 中的一个，因此 2b2 的尾数只能是0、2、8中的一个 .因为 a 22b2 ，所以 a2与 2b 2 的尾数都是 0，因此 b2的尾数只能是 0，因此a 与 b 有公因数 5，与 (a,b)=1 矛盾！因此2 是或 5无理数 .这个证法可以证明被开方数的尾数是2、 3、7、8 的平方根都是无理数 .证法 2：奇偶分析法 .假设a其中，且与都是正整数 则 a22b2可知2=b.(a,b)=1ab.a是偶数，设 a=2c,则 4c 22b 2 ，b 22c 2 ，可知b也是偶数，因此 、 都是偶数， 这与(a,b)=1ab矛盾！因此2 是无理数 .希帕索斯就是用这种方法证明了2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的 “万物皆数 (任何数都可表示成整数之比 ) ”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底 .证法 3：仿上，得到 a22b2 ，易见，否则，则2 =a是一个整数 这是不行的.b>1b=1,a 22b 2 改写成 b2 a a因为，因此b有素因子，因此p整除 a 或 a，总之，p 整除 a，2.b>1p2因此 p 同时整除 a 与 b，这与 (a,b)=1 矛盾 .证法 4：仿上，得到a22b2 ，等式变形为b2a2b2(a b)( a b)，因为，因此b>1，或 a-b之一，则同时整除 a+b 与 a-b，因此 p 整除 a，因此 p 是 a、存在素因子 p p 整除 a+bb 的公因数，与 (a,b)=1 矛盾 .证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式， 因此 ap1r1p2r2pm rm ，bq1s1 q2s2qn sn ，其中 p1 , pm 与 q1 , qn都是素数， r1 , rm 与 s1 ,sn 都是正整数，因此 p12r1 p22 r2pm2rm =2 q12s1 q22 s2qn2 sn ，素数 2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数 .证法 6：假设2 = a ，其中右边是最简分数， 即在所有等于 a 的分数中， a 是最小的正整bb数分子，在 a 22b 2 的两边减去 ab 有 a 2ab2b 2ab ， a( ab) b(2ba) ，即2a2ba ，右边的分子 2b-a<a，这与 a 是最小的分子矛盾，因此2 是无理数 .bab证法 7：连分数法 .因为 ( 21)( 21) =1，因此2 111，2211，将分母中的2 用 11211，不断重复这个1代替，有1122212过程，得 2 =11，这是一个无限连分数 而任何有理数都可以表示为分子都是11.2122分母为正整数的有限连分数，因此2 是无理数 .证法 8：构图法。以上诸多证法的关键之处在于，证明a22b 2 没有正整数解。若不然，、a 为边构造正方形 (b<a ),因为 a22b2，因此图中空白部分的面积等于中间黑色阴影可以 b部分的面积，它们都是正方形，这就找到了一组更小的正整数(a,b)满足 a 22b2 ，无穷递降下去，这个过程可以无限进行，矛盾！