立体几何专题

1、 立体几何专题 1. 如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在棱上.（1） 若，求证：直线平面；（2）是否存点， 使平面平面，若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由；（3）请指出点的位置，使二面角平面角的大小为.2. (1)求证:直线BC1/平面AB1D;(2)求二面角B1-AD-B的大小；(3)求三棱锥C1-ABB1的体积。 3. 四棱锥PABCD的底面是边长为a的菱形，ABC=60，PC平面ABCD，PC=a，E是PA的中点.(1)求证：平面EBD平面ABCD；(2)求点E到平面PBC的距离；(3)求二面ABED的大小（文科只求正切值）. 4. 如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，顶点A1在底面ABC上的射影O是ABC的中心，异面直线AB与CC1所成的角为45.(1)求证：AA1平面A1BC；(2)求二面角A1BCA的大小；(3)求这个斜三棱柱的体积. 5. 如图正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1，A1A=2，E、F分别是A1A和D1B的中点（）求证：平面EFB1平面D1DBB1；ABCDEFA1B1C1D1（）求四面体B1-FBC的体积

2、；（）求平面D1EF与平面ABCD所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）6. 如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EFBD=G.()求证：平面B1EF平面BDD1B1；()求点D1到平面B1EF的距离d；()求三棱锥B1EFD1的体积V. 7. 正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长都等于2，D是BC上一点，且ADBC.A1CDAB1C1B求证：A1B平面ADC1;求截面ADC1与侧面ACC1A1所成的二面角DAC1C的大小.8. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD。E 是PC上一点，满足EC=，又AB=2，PA=4，O是正方形中心。(1)求证：OE是异面直线PC和BD的公垂线。(2)求点A到平面PBD的距离。(3)求二面角B-PC-D的余弦值。9. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90. BC=CC1=a，AC=2a.（）求证：AB1BC1；（）求二面角BAB1C的大小；（）求点A1到平面AB1C的距离.10. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABC

3、D，E是PC的中点.(I)证明 平面；(II)求EB与底面ABCD所成的角的正切值. 11. 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.()求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；B1PACDA1C1D1BOH()设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；()求点P到平面ABD1的距离.三.解答题答案:1. （1）证：连接交于点， 在平行四边形中，有，又 为的中位线，从而， 又平面直线平面； （2）解：假设存在点，使平面平面，过点作于，则平面，又过作于，则平面， 而过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故、应重合于点，此时应有，故，又点在棱上，故，显然矛盾，故不存在这样的点，使平面平面. （3）解：连接，过作于.由（2）中的作法可知为二面角平面角， 设，则，则可得， . 即点在棱上且. 2. (1)略。(2)过B作BEAD于E，连接EB1，则B1EB是二面角B1-AD-B的角BD=BC=AB,E是AD的中点,故B1EB=60o.3. （1）连结AC交BD于O ABC

4、D是菱形 O是AC的中点又E是PA的中点 OEPC，由已知PC平面ABCD，OE平面ABCD，又OE平面EBD，平面EBD平面ABCD，（2）OEPC OE平面PBC，点E到平面PBC的距离等于点O到平面PBC的距离，由已知PC平面ABCD，又PC平面PBC，平面PBC平面ABCD，在平面ABCD内作OH垂直于BC于H，则OH垂直于平面PBC.由已知可知ABC为正三角形，OC=0.5AC=0.5BC=0.5a，ACB=ABC=60.（3）ABCD是菱形 AOBD 又由（1）已证得平面EBD平面ABCD 而平面EBD平面ABCD=BD且OA平面ABCD OA平面BDE 作OGBE于G由三垂线定理知AGBE AGO为二面角ABED的平面角4. （1）证明：顶点A1在底面ABC1内的射影O是ABC的中心，三棱锥A1为正三棱锥,AA1CC1，A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角，A1AB=45，又A1A=A1B，A1AB=A1BA=45A1AB为等腰直角三角形，即AA1A1B，AA1A1CA1C=A AA1面A1BC.（2）连AO并延长交BC于D，则ADBC，连A1D，则ADA1即为二面角

5、A1-BC-A的平面角.由已知可得 5. GBCDEFA1B1C1D1OA（）连AC交BD于O,连FO，FO/D1D/EA且FO=EA，FOAE为平行四边形，EFAO，AO面D1DBB1,EF面D1DBB1,EF平面1平面D1DBB1 (),高等于O到平面B1BC的距离=,V= ()延长D1E、DA交于G,连BG为所求二面角的棱,证D1BD为所求二面角的平面角,，所求二面角为6. 连结AC.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，ACBD，又ACD1D，故AC平面BDD1B1. E，F分别为AB，BC的中点，故EFAC，EF平面BDD1B1， 平面B1EF平面BDD1B1.证法二： BE=BF，EBD=FBD=45，EFBD. 又 EFD1DEF平面BDD1B1， 平面B1EF平面BDD1B1.（）在对角面BDD1B1中，作D1HB1G，垂足为H. 平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1=B1G，D1H平面B1EF，且垂足为H，点D1到平面B1EF的距离d=D1H. 解法一：在RtD1HB1中，D1H=D1B1sinD1B1H. ， 解法二： D1HB1

6、B1BG， 解法三：连结D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半， 7. 解：在正三棱柱ABCA1B1C1中，ADBC，D是BC的中点。连A1C交AC1于E，则E是A1C的中点，连ED，则ED为A1BC的中位线。EDA1B。又ED平面ADC1，A1B平面ADC。过D作DMAC于M，正三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1底面ABC，DM底面ABC，DM侧面ACC1A1，作MNAC1于N，连ND，则根据三垂线定理知：AC1ND，AC1面NDM，DNM即为二面角DAC1C的平面角， 在RtDMC中，DM=DC在RtANM中，NM=AM在RtDMN中，tanDNM=即所求二面角的大小为 8. (1)PA平面ABCD PABD，又ACBD BD平面PAC，OE平面PAC，BDOE，又AB=2，AC=4，PA=4，PAC为等腰Rt, PCA=45,OC=2, OEPC,即OE为PC和BD的公垂线。(2)由（1）BD平面PAC 平面PBD平面PAC，交线PO，过A作AFPO，则AF平面PBD，可求得AF=。(3)可证RtPBCRtPDC,作BGPC于G，连结DG，则D

7、GPC，BGD为二面角的平面角，BG=DG=，由余弦定理得cosBGD=-。9. （）证明：ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC， ACCC1 ACBCAC平面B1BCC1.B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影.BC=CC1，四边形B1BCC1是正方形，BC1B1C.根据三垂线定理得，AB1BC1. 5分（）解：设BC1B1C=O，作OPAB1于点P，连结BP.BOAC，且BOB1C，BO平面AB1C.OP是BP在平面AB1C上的射影.根据三垂线定理得，AB1BP.OPB是二面角BAB1C的平面角. 8分OPB1ACB1， ，.在RtPOB中，tan，二面角BAB1C的大小为. 10分（）解：解法1 A1C1AC，A1C1平面AB1C，A1C1平面AB1C.点A1到平面AB1C的距离与点C1到平面AB1C的距离相等.BC1平面AB1C，线段C1O的长度为点A1到平面AB1C的距离.点A1到平面AB1C的距离为. 12分解法2连结A1C，有，设点A1到平面AB1C的距离为h.B1C1平面ACC1A1，又，. 点A1到平面AB1C的距离为. 12分10. (I)证明：连结AC，AC交BD于O.连结EO.底面ABCD是正方形，点O是AC的中点在中，EO是中位线，.而平面EDB且平面EDB，所以，平面EDB. 3分(II) 解：作交DC于F.连结BF.设正方形ABCD的边长为.底面ABCD，为DC的中点.底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角.在中，在中，所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为 12分11. （I）连结BP.AB平面BCC1B1， AP与平面BCC1B1所成的角

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