高等数学复旦大学出版第三版下册课后参考答案1
140页1、习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集?并分别指出它们的聚点集和边界:(1) (x, y)|x0;(2) (x, y)|1x2+y24;(3) (x, y)|yx2;(4) (x, y)|(x-1)2+y21(x, y)|(x+1)2+y21.解:(1)开集、无界集,聚点集:R2,边界:(x, y)|x=0.(2)既非开集又非闭集,有界集,聚点集:(x, y)|1x2+y24,边界:(x, y)|x2+y2=1(x, y)| x2+y2=4.(3)开集、区域、无界集,聚点集:(x, y)|yx2,边界:(x, y)| y=x2.(4)闭集、有界集,聚点集即是其本身,边界:(x, y)|(x-1)2+y2=1(x, y)|(x+1)2+y2=1.2. 已知f(x, y)=x2+y2-xytan,试求.解:3. 已知,试求解:f( x + y, x-y, x y) =( x + y)xy+(x y)x+y+x-y =(x + y)xy+(x y)2x.4. 求下列各函数的定义域:解:5. 求下列各极限:解:(1)原式=(2)原式=+.(3)原式=(4)原式=(5
2、)原式=(6)原式=6. 判断下列函数在原点O(0,0)处是否连续:(3) 解:(1)由于又,且,故.故函数在O(0,0)处连续.(2)故O(0,0)是z的间断点.(3)若P(x,y) 沿直线y=x趋于(0,0)点,则,若点P(x,y) 沿直线y=-x趋于(0,0)点,则故不存在.故函数z在O(0,0)处不连续.7. 指出下列函数在向外间断:(1) f (x,y)=;(2) f (x,y)=;(3) f (x,y)=ln(1x2y2);(4)f (x,y)=解:(1)因为当y=-x时,函数无定义,所以函数在直线y=-x上的所有点处间断,而在其余点处均连续.(2)因为当y2=2x时,函数无定义,所以函数在抛物线y2=2x上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x2+y2=1时,函数无定义,所以函数在圆周x2+y2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.(4)因为点P(x,y)沿直线y=x趋于O(0,0)时.故(0,0)是函数的间断点,而在其余各点处均连续.8. 求下列函数的偏导数:(1)z = x2y+;(2)s =;(3)z = xln;(4)z = lntan;(5)z
3、 = (1+xy)y;(6)u = zxy;(7)u = arctan(x-y)z;(8).解:(1)(2) (3)(4) (5)两边取对数得故 (6)(7)(8)9.已知,求证:.证明: .由对称性知 .于是 .10.设,求证:.证明: ,由z关于x,y的对称性得故 11.设f (x,y) = x+(y-1)arcsin,求fx(x,1) .解:则.12.求曲线在点(2,4,5)处的切线与正向x轴所成的倾角.解:设切线与正向x轴的倾角为,则tan=1. 故=.13.求下列函数的二阶偏导数:(1)z = x4+ y4-4x2y2;(2)z = arctan;(3)z = yx;(4)z = .解:(1)由x,y的对称性知(2),(3)(4)14.设f (x, y, z) = xy2+yz2+zx2,求解:17915.设z = x ln ( x y),求及.解:16.求下列函数的全微分:(1);(2);(3);(4).解:(1)(2) (3)(4)17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分:(1)(2)解:(1)(2)18.利用全微分代替全增量,近似计算:(1) (1
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