(江苏专用)高三数学一轮总复习 第三章 导数及其应用 第二节 导数的应用 第三课时 导数与函数的综合问题课时跟踪检测 文-人教高三数学试题
4页1、课时跟踪检测(十六) 导数与函数的综合问题一保高考,全练题型做到高考达标1定义在实数集上的函数f(x)x2x,g(x)x32xm.(1)求函数f(x)的图象在x1处的切线方程;(2)若f(x)g(x)对任意的x4,4恒成立,求实数m的取值范围解:(1)f(x)x2x,当x1时,f(1)2,f(x)2x1,f(1)3,所求切线方程为y23(x1),即3xy10.(2)令h(x)g(x)f(x)x3x23xm,则h(x)(x3)(x1)当4x1时,h(x)0;当1x3时,h(x)0;当3x4时,h(x)0.要使f(x)g(x)恒成立,即h(x)max0,由上知h(x)的最大值在x1或x4处取得,而h(1)m,h(4)m,所以m0,即m,实数m的取值范围为.2已知函数f(x)(a0)(1)当a1时,求函数f(x)的极值;(2)若函数F(x)f(x)1没有零点,求实数a的取值范围解:(1)当a1时,f(x),f(x).由f(x)0,得x2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,2)2(2,)f(x)0f(x)极小值所以,函数f(x)的极小值为f(2),函数f(x)无极大值(2)
2、F(x)f(x).当a0时,F(x),F(x)的变化情况如下表:x(,2)2(2,)F(x)0F(x)极小值若使函数F(x)没有零点,当且仅当F(2)10,解得ae2,所以此时e2a0.故实数a的取值范围为(e2,0)3某商场的销售部经过市场调查发现,该商场的某种商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y10(x6)2,其中3x6,a为常数已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使该商场每日销售该商品所获得的利润最大解:(1)因为x5时,y11,所以1011,解得a2.(2)由(1),可知y10(x6)2.设该商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)元,则f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6,所以f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)令f(x)0,得x4或6(舍去)当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值由上表,可知当x4时,函数f(x)取得最大值,且最大值为42.故当销售价格为4元
3、/千克时,该商场每日销售该商品所获得的利润最大4(2016扬州调研)已知函数f(x)ax2(a21)x和g(x)x.(1)求证:不论实数a取何值,f(x)总有两个极值点;(2)若f(x)和g(x)有相同的极值点,求实数a的值解:(1)证明:由题意,知f(x)x22axa21x(a1)x(a1),令f(x)0,解得xa1或xa1,当xa1时,f(x)0,当a1xa1时,f(x)0,所以xa1为f(x)的极大值点,xa1为f(x)的极小值点所以不论实数a取何值,f(x)总有两个极值点(2)由题意,知g(x)1.令g(x)0,得xa或xa.因为f(x)和g(x)有相同的极值点,且a和a1,a1不可能相等,所以当aa1时,a;当aa1时,a.经检验,当a或时,f(x)和g(x)有相同的极值点所以a或a.二上台阶,自主选做志在冲刺名校设函数f(x)exax1.(1)若函数f(x)在R上单调递增,求a的取值范围;(2)当a0时,设函数f(x)的最小值为g(a),求证:g(a)0;(3)求证:对任意的正整数n,都有1n12n13n1nn1(n1)n1.解:(1)由题意知f(x)exa0对xR恒成立,且ex0,故a的取值范围为(,0(2)证明:由a0,及f(x)exa可得,函数f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增,故函数f(x)的最小值为g(a)f(ln a)eln aaln a1aaln a1,则g(a)ln a,故当a(0,1)时,g(a)0,当a(1,)时,g(a)0,从而可知g(a)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,且g(1)0,故g(a)0.(3)证明:由(2)可知,当a1时,总有f(x)exx10,当且仅当x0时等号成立即当x0时,总有exx1.于是,可得(x1)n1(ex)n1e(n1)x.令x1,即x可得n1en;令x1,即x可得n1e(n1);令x1,即x可得n1e(n2);令x1,即x可得n1e1.对以上各式求和可得:n1n1n1n1ene(n1)e(n2)e11.故对任意的正整数n,都有1n12n13n1nn1(n1)n
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