(江苏专用)高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第43练 几何证明选讲 理
11页1、第43练几何证明选讲题型一相似三角形及射影定理例1如图所示,在RtABC中,ACB90,CDAB于D,且ADBD94,求ACBC的值破题切入点含斜边上的高的直角三角形是相似三角形中的基本图形,本题中出现多对相似三角形,这为解决问题提供了许多可以利用的有效信息另外,直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的一个经典应用,在类似问题中应用射影定理十分简捷解方法一因为ACB90,CDAB于D,所以由射影定理,得AC2ADAB,BC2BDAB.所以()2.又ADBD94,所以ACBC32.方法二因为ADBD94,所以可设AD9k,BD4k,k(0,)又ACB90,CDAB于D,由射影定理,得CD2ADBD,所以CD6k.由勾股定理,得AC3和BC2,所以ACBC32.题型二相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用例2如图所示,AB为O的直径,P为BA的延长线上一点,PC切O于点C,CDAB,垂足为D,且PA4,PC8,求tanACD和sin P.破题切入点(1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三角形中,利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数值,然后根据已知条
2、件将这些比值转化为已知线段的比值(2)线段成比例的证明,一般利用三角形相似进行转化,在圆中的相关问题,应注意灵活利用圆中的切割线定理、相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系解连结OC,BC.因为PC为O的切线,所以PC2PAPB.故824PB,所以PB16.所以AB16412.由条件,得PCAPBC,又PP,所以PCAPBC.所以.因为AB为O的直径,所以ACB90.又CDAB,所以ACDB.所以tanACDtan B.因为PC为O的切线,所以PCO90.又O直径为AB12,所以OC9,PO10.所以sin P.题型三四点共圆的判定例3如图,已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,B60,F在AC上,且AEAF.证明:(1)B、D、H、E四点共圆;(2)CE平分DEF.破题切入点(1)如果四点与一定点距离相等,那么这四点共圆;(2)如果四边表的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆;(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆证明(1)在ABC中,因为B60,所以BACBCA120.因为AD、CE分别是BAC、DCF的平分线,所以HACHCA60
3、,故AHC120.于是EHDAHC120.所以EBDEHD180,所以B、D、H、E四点共圆(2)连结BH,则BH为ABC的平分线,得HBD30.由(1)知B、D、H、E四点共圆,所以CEDHBD30.又AHEEBD60,由已知可得EFAD,可得CEF30.所以CE平分DEF.总结提高(1)证明两角相等,关键是确定两角之间的关系,多利用中间量进行转化,可以通过证明三角形相似或全等,利用平行线的有关定理,如同位角相等、内错角相等等,也可利用特殊平面图形的性质,如利用等腰三角形的两个底角相等、圆中同弧或等弧所对的圆周角相等寻找中间量进行过渡(2)证明或寻找圆内接图形中的角之间的关系,除了注意平面图形中的垂直、平行关系之外,还应注意弦切角、同弧所对角等性质的灵活运用1.如图,RtABC中,BAC90,ADBC于D,BE平分ABC交AC于E,EFBC于F.求证:EFDFBCAC.证明BAC90,且ADBC,由射影定理得AC2CDBC,.EFBC,ADBC,EFAD,.又BE平分ABC,且EAAB,EFBC,AEEF,.由、得,即EFDFBCAC.2.(2014陕西改编)如图,ABC中,BC6,
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