(江苏专用)高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第29练 空间向量解决立体几何问题两妙招“选基底”与“建系” 理
17页1、第29练空间向量解决立体几何问题两妙招 “选基底”与“建系”题型一选好基底解决立体几何问题例1如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M、N分别是AB、CD的中点(1)求证:MNAB,MNCD;(2)求MN的长;(3)求异面直线AN与CM夹角的余弦值破题切入点选好基底,将问题中涉及的向量用所选定的基底来线性表示,然后运算(1)证明设p,q,r.由题意可知:|p|q|r|a,且p、q、r三向量两两夹角均为60.()(qrp),(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.MNAB,同理可证MNCD.(2)解由(1)可知(qrp),|22(qrp)2q2r2p22(qrpqrp)a2a2a22()2a2.|a,MN的长为a.(3)解设向量 与的夹角为.()(qr),qp,(qr)(qp)(q2qprqrp)(a2a2cos 60a2cos 60a2cos 60)(a2).又|a,|cos aacos .cos ,向量与的夹角的余弦值为,从而异面直线AN与CM夹角的余弦值为.题型二建立空间直角坐标系解决立体几何问题例2如图,在底面是矩形的四棱锥
2、PABCD中,PA底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PAAB1,BC2.(1)求证:EF平面PAB;(2)求证:平面PAD平面PDC.破题切入点建立空间直角坐标系后,使用向量共线的充要条件证明即可证明(1);(2)根据向量的垂直关系证明线线垂直,进而证明线面垂直,得出面面垂直另外也可用选基底的方法来解决证明方法一(坐标法)以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),E(,1,),F(0,1,),所以(,0,0),(1,0,1),(0,2,1),(0,0,1),(0,2,0),(1,0,0),(1,0,0)(1)因为,所以,即EFAB.又AB平面PAB,EF平面PAB,所以EF平面PAB.(2)因为(0,0,1)(1,0,0)0,(0,2,0)(1,0,0)0,所以,即APDC,ADDC.又APADA,AP平面PAD,AD平面PAD,所以DC平面PAD.因为DC平面PDC,所以平面PAD平面PDC.方法二(选基底法)选取、作为空间
3、向量的一组基底(1)由于E、F分别是PC、PD的中点,所以,即与共线,EF平面PAB,AB平面PAB,EF平面PAB.(2)由于ABCD为矩形,且PA平面ABCD,0.所以有AB平面PAD,又,CD平面PAD,CD平面PCD,从而有平面PAD平面PDC.题型三综合应用问题例3如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1AD1,E为CD的中点(1)求证:B1EAD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由破题切入点利用向量法建立空间直角坐标系,将几何问题进行转化;对于存在性问题可通过计算得结论(1)证明以A为原点,向量,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1),故(0,1,1),(a,0,1),.011(1)10,B1EAD1.(2)解假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0)使得DP平面B1AE,此时(0,1,z0)又设平面B1AE的法向量n(x,y,z)n平面B1AE,n,n,得取x1,得平面B1AE的一个法向量n
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