2023-2024学年北京西城8中高三数学第一学期期末监测试题含解析

1、2023-2024学年北京西城8中高三数学第一学期期末监测试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1记为等差数列的前项和.若，则（ ）A5B3C12D132一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）ABCD3已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A的虚部为B复数在复平面内对应的点位于第三象限C的共轭复数D4已知单位向量，的夹角为，若向量，且，则（ ）A2B2C4D65把满足条件（1），（2），使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（ ） A1个B2个C3个D4个6是恒成立的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7如图，是圆的一条直径，为半圆弧的两个三

2、等分点，则（ ）ABCD8已知集合Ay|y，Bx|ylg（x2x2），则R（AB）（ ）A0，）B（，0），+）C（0，）D（，0，+）9已知集合，集合，若，则（ ）ABCD10已知i是虚数单位，则（ ）A B C D11对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步其中正确的个数为（）ABCD12a为正实数，i为虚数单位，则a=（ ）A2BCD1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13不等式的解集为_14在平面五边形中，且.将五边形沿对角线折起，使平面与平面所成的二面角为，则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积是_.15已知椭圆：，F1、F2是椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，延长AF2交椭圆于点B，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为_.16若存在直线l与函数及的图象都相切，则实数

3、的最小值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）是数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列中最小的项.18（12分）已知，分别是三个内角，的对边，（1）求；（2）若，求，19（12分）已知函数（1）求不等式的解集；（2）若函数的定义域为,求实数 的取值范围20（12分）在直角坐标系中，点的坐标为，直线的参数方程为（为参数，为常数，且）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.设点在圆外.（1）求的取值范围.（2）设直线与圆相交于两点，若，求的值.21（12分）如图，四边形中，沿对角线将翻折成，使得. （1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.22（10分）某单位准备购买三台设备，型号分别为已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每

4、台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.每台设备一个月中使用的易耗品的件数678型号A30300频数型号B203010型号C04515将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立.（1）求该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；（2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品？参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由题得，解得，计算可得.【详解】，解得，.故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前项和公式，考查了学生运算求解能力.2、C【解析】根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得，几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱，故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，即，故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问

5、题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积.3、D【解析】利用的周期性先将复数化简为即可得到答案.【详解】因为，所以的周期为4，故，故的虚部为2，A错误；在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；的共轭复数为，C错误；，D正确.故选：D.【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.4、C【解析】根据列方程，由此求得的值，进而求得.【详解】由于，所以，即，解得.所以所以.故选：C【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.5、B【解析】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证.【详解】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，不满足（2）；不满足（1）；不满足（2）；均满足（1）（2）.故选：B.【点睛】本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题.6、A【解析】设 成立；反之，满足 ，但，故选A.7、B【解析】连接、，即可得到，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得；

6、【详解】解：连接、，是半圆弧的两个三等分点， ，且，所以四边形为棱形，故选：B【点睛】本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.8、D【解析】求函数的值域得集合，求定义域得集合，根据交集和补集的定义写出运算结果.【详解】集合Ay|yy|y00，+）；Bx|ylg（x2x2）x|x2x20x|0x（0，），AB（0，），R（AB）（，0，+）.故选：D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.9、A【解析】根据或，验证交集后求得的值.【详解】因为，所以或.当时，不符合题意，当时，.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.10、D【解析】利用复数的运算法则即可化简得出结果【详解】故选【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。11、C【解析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可【详解】甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，错误；根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，正确；乙同学的数学成绩与测试次号具

7、有比较明显的线性相关性，且为正相关，正确；乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故不正确故选：C【点睛】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题12、B【解析】，选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】通过平方，将无理不等式化为有理不等式求解即可。【详解】由得，解得，所以解集是。【点睛】本题主要考查无理不等式的解法。14、【解析】设的中心为，矩形的中心为，过作垂直于平面的直线，过作垂直于平面的直线，得到直线与的交点为几何体外接球的球心，结合三角形的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.【详解】设的中心为，矩形的中心为，过作垂直于平面的直线，过作垂直于平面的直线，则由球的性质可知，直线与的交点为几何体外接球的球心，取的中点，连接，由条件得，连接，因为，从而，连接，则为所得几何体外接球的半径，在直角中，由，可得，即外接球的半径为，故所得几何体外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，求得

8、外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力与运算求解能力，属于中档试题.15、【解析】由题意可得等腰三角形的两条相等的边，设，由题可得的长，在三角形中，三角形中由余弦定理可得的值相等，可得的关系，从而求出椭圆的离心率【详解】如图，若为等腰三角形，则|BF1|=|AB|.设|BF2|=t，则|BF1|=2at，所以|AB|=a+t=|BF1|=2at，解得a=2t，即|AB|=|BF1|=3t，|AF1|=2t，设BAO=，则BAF1=2，所以的离心率e=，结合余弦定理，易得在中，所以，即e= =，故答案为：.【点睛】此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用，属于中档题.16、【解析】设直线l与函数及的图象分别相切于，因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为存在直线l与函数及的图象都相切，所以，所以，令，设，则，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以，所以实数的最小值为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由可得出，两式作差可求得数列的通项公式；（2）求得，利用数列的单调性的定义判断数列的单调性，由此可求得数列的最小项的值.【详解】（1）对任意的，由得，两式相减得，因此，数列的通项公式为；（2）由（1）得，则.当时，即，；当时，即，.所以，数列的最小项为.【点睛】本题考查利用与的关系求通项，同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18、（1）；

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