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信息论基础与编码 (17)

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卖家[上传人]：奉***

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1、循环码循环码循环码循环码 1957年年由由普兰奇普兰奇首先研究循环码，它是首先研究循环码，它是线性分组线性分组码码的一个重要的的一个重要的子类子类，是目前研究最为成熟的一，是目前研究最为成熟的一类码。它的检错纠错能力强，不但可用于纠独立类码。它的检错纠错能力强，不但可用于纠独立的随机错误，也可以用于纠突发错误。由此，目的随机错误，也可以用于纠突发错误。由此，目前在各个领域中用于差错控制的几乎都是循环码前在各个领域中用于差错控制的几乎都是循环码或是性能更好的循环码的子类。或是性能更好的循环码的子类。循环码概述循环码概述循环码是循环码是线性分组码线性分组码的一个的一个重要子类重要子类；由于循环码具有优良的代数结构，使得可用简由于循环码具有优良的代数结构，使得可用简单的反馈移位寄存器实现编码和伴随式计算，单的反馈移位寄存器实现编码和伴随式计算，并可使用多种简单而有效的译码方法并可使用多种简单而有效的译码方法；循环码是循环码是研究最深入、理论最成熟、应用最广研究最深入、理论最成熟、应用最广泛泛的一类线性分组码。的一类线性分组码。循环码循环码的循环码的定义定义码集码集C中任何一个码字中任何一个

2、码字Ccn-1cn-2 c1c0的的循循环移位仍是码字环移位仍是码字。如果如果 (n,k)线性分组码的任意线性分组码的任意码字码字C=(cn-1,cn-2,c0)的的 i 次次循环移位，所得循环移位，所得矢量矢量仍是仍是一个一个码字，码字，则称此线性码为则称此线性码为 (n,k)循环码。循环码。例如：某线性分组码的生成矩阵为：例如：某线性分组码的生成矩阵为：信息组信息组 G生成生成码字码字0000000 0011101010011101110101001110101001111010011110100 000 001010011100101110111循环码的多项式描述循环码的多项式描述一般一般(n,k)线性分组码的线性分组码的k个基底之间不存在规则的联个基底之间不存在规则的联系，因此需用系，因此需用k个基底组成生成矩阵来表示一个码的个基底组成生成矩阵来表示一个码的特征。特征。而循环码的而循环码的k个基底可以是同一个基底循环个基底可以是同一个基底循环k次得到，次得到，因此用一个基底就足以表示一个码的特征。因此用一个基底就足以表示一个码的特征。既然只有一个基底，就无需矩阵，只要用多项式作

3、既然只有一个基底，就无需矩阵，只要用多项式作为数学工具就足够了。为数学工具就足够了。循环码的多项式定义循环码的多项式定义把码字把码字Ccn-1cn-2 c1c0 与一个不大于与一个不大于n-1次次的的码多项式码多项式C(x)对应对应起来。起来。码多项式码多项式C(x)定义为：定义为：C(x)=cn-1xn-1+cn-2 xn-2+c1x+c0对于二进制码，对于二进制码，ci 0,1,i=0,，n-1。7 码码多项式多项式码码多项式多项式 i 次循环移位的表示方法次循环移位的表示方法记码多项式记码多项式C(x)的一次左移循环为的一次左移循环为 C(1)(x)，i 次左移次左移循环为循环为 C(i)(x)C(x)=cn-1xn-1+cn-2 xn-2+c1x+c0 C(x)乘以乘以 x，再除以，再除以 (xn+1)，得得码字循环一次的码多项式码字循环一次的码多项式 C(1)(x)是原码多是原码多项式项式 C(x)乘以乘以 x 除以除以 (xn+1)的余式。的余式。因此因此，C(x)的的 i 次循环移位次循环移位 C(i)(x)是是 C(x)乘以乘以 xi 除以除以 (xn+1)的余式，的余式，即即结论结论：循环码的：循环码的码字的码字的 i 次循环移位等效于将次循环移位等效于将码多项式乘码多项式乘 xi 后再模后再模 (xn+1)。举例举例：(7,3)循环码循环码可由任一个可由任一个码字，码字，比如比如 (0011101)经过循环移经过循环移位，得到其它位，得到其它6个非个非0码字；码字；也可由相应的码多项式也可由相应的码多项式(x4+x3+x2+1)，乘，乘以以xi(i=1,2,6)，再模，再模(x7+1)运算得到其它运算得到其它6个非个非0码多项式。移位过程和相应的多项式运算如下码多项式。移位过程和相应的多项式运算如下页表所示。页表所示。

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