考研数学二二次型

1、考研数学二二次型1. 【单项选择题】下列矩阵中，正定矩阵是A. B. C. D. 正确答案：C参考解析：二次型正定的必要条件是：aij02. 【单项选择题】n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是()A. A无负特征值B. A是满秩矩阵C. A的每个特征值都是单值D. A-1是正定矩阵 正确答案：D参考解析：A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，(A)不对；若A为正定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；(D)既是充分条件又是必要条件，选(D)3. 【单项选择题】设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA-1X()A. 规范形与标准形都不一定相同B. 规范形相同但标准形不一定相同C. 标准形相同但规范形不一定相同D. 规范形和标准形都相同 正确答案：B参考解析：因为A与A-1合同，所以XTAX与XTA-1X规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)4. 【单项选择题】二次型f(x1，x2，x3)=x1x2+x2x3+x1x3的矩阵为（）A. B. C

2、. D. 正确答案：B参考解析：5. 【单项选择题】A. B. C. D. 正确答案：A参考解析：判定规范形，只要确定二次型的秩及正、负惯性指数，可以通过求二次型矩阵A的特征值来确定6. 【单项选择题】A是n阶实对称矩阵，则A合同于矩阵B的充分必要条件是（）r(A)=r(B)，A与B的正惯性指数相等，A与B均正定矩阵，B是实对称矩阵A. 成立B. 成立C. 均成立D. 成立 正确答案：C参考解析：首先是必要条件7. 【填空题】二次型f(x1，x2，x3)=2x1x2+4x1x3在正交变换下的标准形是_.请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：【解析】8. 【填空题】取值范围_.请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：【解析】9. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：0【解析】10. 【填空题】二次型f(x1，x2，x3)=(x1-2x2)2+4x2x3的矩阵为_请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：11. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答

3、对了 答错了 正确答案：参考解析：12. 【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：13. 【填空题】 值范围为_.请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：-2a1【解析】14. 【填空题】设二次型f(x1，x2，x3)=()求一个正交变换x=Qy，将f化为标准形；()利用配方法，将f化为标准形请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：(I)()用配方法15. 【填空题】（1）若3阶实对称矩阵A与B=合同，则二次型xTAx的规范形为_.请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：16. 【填空题】设A是3阶实对称矩阵，二次型xTAx经过正交变换x=Qy后的标准形为,则二次型xTA*x的规范形为请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了 正确答案：参考解析：【解析】17. 【解答题】已知A是3阶矩阵，满足A2-2A-3E=O，(1)证明A可逆，并求A-1(2)如|A+2E|=25，求|A-E|的值.(3)证明ATA是正定矩阵.请查看答案解析后对本题进行判断： 答

4、对了 答错了参考解析：(1)有A2-2A=3E，有A*(A-2E)/3=E。所以A可逆且A-1=(A-2E)/3。(2)设是A的特征值，是对应的特征向量，即A=，0由A2-2A-3E=O有2-2-3=0，A的特征值为3或-1，那么A+2E的特征值是5或1由|A+2E|=25，从而A的特征值只能是3，3，-1于是|A-E|=22(-2)=-8(3)因(ATA)T=AT(AT)T=ATA，即ATA是对称矩阵由A可逆，对ATA=ATEA知ATA与E合同，从而ATA是正定矩阵18. 【解答题】设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=的正负惯性指数都是1.(I)求a的值；()求可逆线性变换x=By，将f(x1，x2，x3)化为标准形请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：()解得a=1或a=-2()由()知，二次型为19. 【解答题】是方程组A*x=4的解向量()求矩阵A；()求正交变换x=Qy，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：()由已知A*=4，等式两边同时左乘A，得AA*=4A，即|A|=4A，(

5、)由于1，2已正交，所以只需将1，2，3单位化，得20. 【解答题】()求二次型f(x1，x2，xn)=xTAx的秩；()求可逆矩阵P，使得P-1AP=A，并求二次型的正惯性指数请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：()f(x1，x2，xn)()由|E-A|=0，解得A的特征值为21. 【解答题】设A是实对称矩阵，证明：A可逆的充要条件是存在方阵B，使得AB+BTA为正定矩阵请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：(必要性)因A可逆，取B=A-1，由A是实对称矩阵，有22. 【解答题】设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)求：(1)二次型XTAX的标准形；(2)|E+A+A2+An|的值请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：(1)因为A2=A，所以|A|E-A|=0，即A的特征值为0或者1，因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)=r得A的特征值为=1(r重)，=0(n-r重)，则二次型XTAX的标准型为y12+y22+.+yr2。(2)令B=E+A+A2+.+An，则B的特征值为=n+1(r重)，=1(n-r重)，故|E+A+A2+.+An|=(n+1)r。23. 【解答题】(1)记X=(x1，x2，xn)T，把二次型f(x1，x2，xn)写成矩阵形式；(2)二次型g(X)=XTAX是否与f(x1，x2，xn)合同?请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：(1)(2)因为A可逆，所以A的n个特征值都不是零，而A与A-1合同，故二次型f(x1，x2，xn)与g(x)=XTAX规范合同24. 【解答题】用配方法化下列二次型为标准形：请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：25. 【解答题】(1)设f(x1，x2，x3)=0，求X；(2)求二次型f(x1，x2，x3)的规范形请查看答案解析后对本题进行判断： 答对了 答错了参考解析：(1)(2)

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