2020-2021学年北京师大实验中学高二（下）期中数学试卷

1、2020-2021学年北京师大实验中学高二（下）期中数学试卷一卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1（5分）数列，2，的一个通项公式为（）ABCD2（5分）求函数f（x）sin+cos的导数（）Acos+sinxBcossinxCsinxD03（5分）数列an满足，则a2021等于（）A1BC2D34（5分）函数yxlnx的单调递增区间是（）A（0，1）B（，1）C（1，2）D（1，+）5（5分）用数学归纳法证明 1+n（nN*，n1）时，第一步应验证不等式（）ABCD6（5分）已知数列an的通项公式ann29n10，记Sn为数列an的前n项和，若使Sn取得最小值，则n（）A5B5或6C10D9或107（5分）设三次函数f（x）的导函数为f（x），函数yxf（x）的图象的一部分如图所示，则正确的是（）Af（x）的极大值为，极小值为Bf（x）的极大值为，极小值为Cf（x）的极大值为f（3），极小值为f（3）Df（x）的极大值为f（3），极小值为f（3）8（5分）已知函数f（x）ax，x（0，+），当0x1x2时，不等式x1

2、f（x1）x2f（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（）ABC（，e）D（，e二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9（5分）等比数列an中，已知a22，a44，则a6 10（5分）已知函数yx3+3x2+m的极大值为5，则实数m 11（5分）各项都为正数的等差数列an中，2a3a72+2a110，则a5+a9 12（5分）数列an的前n项和Sn3n2，则an 13（5分）若曲线f（x）（ax1）ex2在点（2，f（2）处的切线过点（3，3），则实数a的值为 14（5分）数列an满足a11，实数k为常数数列an有可能是常数列；k1时，数列为等差数列；若a3a1，则k的取值范围是（2，0）；k0时，数列an单调递减则以上判断正确的序号是 .（写出符合条件的所有序号）三、解答题（本大题共3小题，共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（10分）已知等差数列an满足：a12，且a1、a2、a5成等比数列（1）求数列an的通项公式（2）记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由16（10分）已知

3、函数f（x）2x3+3ax2+3bx+1且在x1及x2处取得极值（1）求a，b的值；（2）求函数yf（x）在0，3上的最大值与最小值的差17（10分）已知函数（1）当a1时，求函数f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使函数在（0，+）上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由二卷四、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）18（5分）已知函数f（x）sinx，x（0，），则f（x）的单调递减区间为 19（5分）数列an中，若a12，则an 20（5分）已知实数a，b，c，d成等比数列，对于函数，当xb时取到极大值c，则ad 21（5分）等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表中的同一列，则数列an的通项公式an 第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行981822（5分）设数列an与bn的通项公式分别为，bn3n+2，令cnanbn，则c1 ，数列cn的前n项和Sn 23（5分）记f（x），g（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数若存在x0R，满足f（x0）g（x0）且f（

4、x0）g（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”（1）以下函数f（x）与g（x）存在“S点”的是 函数f（x）x与g（x）x2+2x2；函数f（x）x+1与g（x）ex；函数f（x）sinx与g（x）cosx（2）已知m，nR，若函数f（x）mx2+nx与g（x）lnx存在“S点”，则实数m的取值范围为 五、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）24（10分）已知an是等差数列，记Sn为数列an的前n项和，且a81，S1624（1）求数列an的通项公式；（2）若bn是单调递增的等比数列，且b1+b49，b2b38，求（a1b1）+（a2b2）+（a3b3）+（anbn）25（10分）已知函数f（x）xln（1+x）（1）求函数f（x）的极小值；（2）若对任意的x0，+），有kx2f（x）成立，求实数k的取值范围；（3）证明：2020-2021学年北京师大实验中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1（5分）数列，2，的一个

5、通项公式为（）ABCD【分析】根据被开方数的特点即可求出【解答】解：数列，2，即为，则发现被开方数成等差数列，即其中一个通项公式为，故选：B【点评】本题考查了通过数列的前几项归纳数列的通项公式，主要考查了归纳能力和推理能力，属于基础题2（5分）求函数f（x）sin+cos的导数（）Acos+sinxBcossinxCsinxD0【分析】根据题意，分析可得sin+cos为常数，则函数f（x）sin+cos为常数函数，求出其导数即可得答案【解答】解：根据题意，sin+cos为常数，则函数f（x）sin+cos为常数函数，则f（x）0；故选：D【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式3（5分）数列an满足，则a2021等于（）A1BC2D3【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的周期，进一步求出结果【解答】解：数列an满足，当n1时，解得，当n2时，解得，当n3时，解得，当n4时，解得，.故数列的周期为3故a2021a6733+2a21故选：A【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的应用，数列的周期，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题4（5分

6、）函数yxlnx的单调递增区间是（）A（0，1）B（，1）C（1，2）D（1，+）【分析】对函数yxlnx求导，解不等式y0便得到原函数的单调递增区间【解答】解：y，x0，x1时，y0，所以原函数的单调递增区间是（1，+），故选：D【点评】考查求导数来找函数的单调区间的方法，比较容易求解5（5分）用数学归纳法证明 1+n（nN*，n1）时，第一步应验证不等式（）ABCD【分析】直接利用数学归纳法写出n2时左边的表达式即可【解答】解：用数学归纳法证明（nN+，n1）时，第一步应验证不等式为：；故选：B【点评】在数学归纳法中，第一步是论证n1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误6（5分）已知数列an的通项公式ann29n10，记Sn为数列an的前n项和，若使Sn取得最小值，则n（）A5B5或6C10D9或10【分析】直接利用数列的通项公式，二次函数性质的应用求出数列的和的最小值【解答】解：根据二次函数的性质：ann29n10（n10）（n+1）0，当n10时，a100，由于S9S10，故当n9或10时，取得最小值故选：D【点评】本题考查的知

7、识要点：数列的通项公式，数列的求和公式的应用，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题7（5分）设三次函数f（x）的导函数为f（x），函数yxf（x）的图象的一部分如图所示，则正确的是（）Af（x）的极大值为，极小值为Bf（x）的极大值为，极小值为Cf（x）的极大值为f（3），极小值为f（3）Df（x）的极大值为f（3），极小值为f（3）【分析】观察图象知，x3时，f（x）03x0时，f（x）0由此知极小值为f（3）0x3时，yf（x）0x3时，f（x）0由此知极大值为f（3）【解答】解：观察图象知，x3时，yxf（x）0，f（x）03x0时，yxf（x）0，f（x）0由此知极小值为f（3）0x3时，yxf（x）0，f（x）0x3时，yxf（x）0，f（x）0由此知极大值为f（3）故选：D【点评】本题考查极值的性质和应用，解题时要仔细图象，注意数形结合思想的合理运用8（5分）已知函数f（x）ax，x（0，+），当0x1x2时，不等式x1f（x1）x2f（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（）ABC（，e）D（，e【分析】问题转化为2a在（0，+）上恒成立，令h（x）（x0），求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的取值范围即可【解答】解：令g（x）xf（x）exax2，当0x1x2时，不等式x1f（x1）x2f（x2）恒成立，g（x）在（0，+）上单调递增，g（x）ex2ax0在（0，+）上恒成立，2a在（0，+）上恒成立，令h（x）（x0），则h（x），令h（x）0，解得：x1，令h（x）0，解得：0x1，h（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，h（x）minh（1）e，2ae，a，故选：B【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是中档题二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9（5分）等比数列an中，已知a22，a44，则a68【分析】由等比数列的定义和性质可得a2、a4、a6也成等比数列，可得 a2a6，由此求得 a6的值【解答】解：等比数列an中，已知a22，a44，且 a2、a4、a6也成等比数列，a2a6，解得 a68，故答案为 8【点评

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